Содержание раздела

Глава 1. Множество натуральных чисел

Глава 2. Множество целых чисел

Глава 3. Множество рациональных чисел

Числа

Число является одним из базовых понятий математики. Оно используется для характеристики количества объектов, используется, чтобы сравнивать объекты и их части, а также для нумерации.

В глубокой древности зародилось понятия числа. Для записи количества предметов использовали всевозможные знаки: чёрточки, насечки, точки. Эти знаки наносили на деревянные дощечки, мягкую глину, кости, бересту, папирус.

Были также верёвочные счётные книги. Количество узелков на верёвке означало количество предметов или животных. Для подсчёта большого количества предметов или животных эта запись была громоздка и неудобна.

 

Ки́пу — древняя мнемоническая и счётная система (в связке с юпаной — счётным устройством) инков и их предшественников, живших в горной системе Анды. Большая часть информации, хранящаяся в кипу — числа в десятичной системе счисления.

Ки́пу — древняя мнемоническая и счётная система

Одно из кипу

(c) enWiki, hochgeladen von User Lyndsaruell

Так как в те времена пальцы были единственным вычислительным инструментом человека, то люди стали группировать эти единицы счёта (т.е. свои пальцы) в пятёрки и десятки.

Если нужно было посчитать большое количество предметов, то их сначала группировали по 10 единиц, а потом подсчитывали количество десятков. Если десятков было больше 10, то говорили десяток десятков или сотня. Десяток сотен называли тысяча и так далее.

Такие группы чисел стали обозначать особыми значками. Например, римляне использовали латинские буквы I – это 1, V – это 5, X – это 10, L – это 50, C – 100, D – 500, M – 1000.

На Руси использовали буквы кириллицы (славянского алфавита).Если над буквами стоял специальный знак ~ (титло), то они имели цифровое значение: Ã – это 1, Ñ – это 50, Õ – это 70.

В таких системах счисления от положения знаков в записи числа не зависит величина, которую он обозначает.

На Руси использовали буквы кириллицы

Часы Суздальского кремля (c) User:Simm, Wikimedia

Системы, в которых не имеет значения расположение знака в записи числа стали называть непозиционными системами счисления.

Однако такие системы были непригодны для сложных вычислений. Например, если сложение и вычитание можно было выполнить, то умножение и деление было выполнить уже сложно.

Почему цифры называются арабскими?

На протяжении веков ученые постепенно вырабатывали обозначения арифметических действий, цифры и знаки.

В Индии использовались цифры систем Брахми с 3 века до нашей эры. В этой системе цифры — это знаки, с помощью которых записываются числа.

Число — это единица счёта, выражающая количество цифр. Цифр всего было 9: от единицы до девяти.

Также в Индии применялась в словесная система обозначения чисел.

В Индии нуль обозначался словом «шунья», что значит пустое, дыра.

В 628 году индийский математик и астроном Брахмагупта определил значение «нуля».

Таким образом, количество цифр стало 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

И значение цифр стало зависеть от их расположения относительно друг друга. Такая система счисления стала называться позиционной системой счисления.

 

В 9 веке среднеазиатский математик астроном Аль-Харезми написал труд «Об использовании индусских цифр в вычислениях». Аль-Харезми впервые дал систематическое изложение арифметики, основанной на десятичной системе счисления в своем трактате «О числах и действиях с ними»

При переводе индийского слова «шунья» на арабский язык это слово перевели как «сыфр».

В 12 веке трактат Аль-Харезми перевели с арабского языка на латинский.

При переводе на латинский язык это слово («шунья» – «сыфр») оставили без перевода в виде «ciffra».

Немецкое слово ziffer и слов цифра, также первоначально означало 0.

Так как на латынь в 12 веке перевели арабский трактат, то этим и объясняется название «арабские цифры».

Таким образом, в странах Западной и Центральной Европы к середине 16 века распространились арабские цифры.

Римские цифры до сих пор используется для обозначения веков, обозначения томов книг и глав, а также циферблатов на часах.

 

Арабские цифры на Руси появились при Петре I, тогда же слово «цифра» вошло в русский язык.

Действия над числами

Арифметическим действием называется нахождение по нескольким числам одного нового числа.

 

Сложение, вычитание, умножение, деление возведение в степень, извлечение корня — это всё арифметические действия.

 

До 15 века действия над числами излагались словесно. Например, индийские математики отрицательные числа трактовали как долг.

У немецких математиков знаки плюс «+» и минус «-» впервые появились в 15 веке.

Латинское слово «минус» означает «меньше». Таким образом произошло название знака минус «-».

В 1556 году итальянский математик Никколо Тарталья впервые ввёл круглые скобки «()».

В 1661 г. английский математик Уильям Отред ввел знак умножения «×». Также он ввел знак для деления «/».

Для обозначения равенства в 1637 г Декарт вводит знак равно «=».

Знак деления «÷» вводит английский математик Джон Пелль. В Англии и Африке знак «÷» встречается и сейчас.

Математик средневековья Леонардо Пизанский (Фибоначчи) позаимствовал у арабов горизонтальную черту «−» в качестве деления.

Немецкий философ, математик и физик Готфрид Лейбниц в 1684 г. впервые использовал знак деления «:», а в 1698 году впервые использовал знак умножения «•».

Итальянский математик Рафаэль Бомбелли в 1572 году ввёл квадратные скобки [].

Французский математик Франсуа Виет изобразил фигурные скобки «{}» в 1593 году.

Множества чисел

Набор или совокупность элементов, объединенных каким-либо общим признаком — это множество.

Например, множество целых чисел – это натуральные числа, целые отрицательные числа и ноль. Такое множество обозначают буквой Z.

 

Буквой N обозначают множество натуральных чисел от единицы до бесконечности.

 

Множество целых чисел и множество всех положительных и отрицательных дробей – это множество рациональных чисел. Такое множество обозначают буквой Q.

Множества чисел

Бесконечные непериодические дроби — это множество иррациональных чисел. Такое множество обозначают буквой I.

 

Объединение множества рациональных и иррациональных чисел — это множество действительных чисел. Такое множество обозначают буквы R.

 

Множество комплексных чисел — это числа вида a+bi (где a и b – действительные числа). Такое множество обозначают буквой C.