Простые числа

 

Любое натуральное число (кроме 1) является либо простым числом , либо составным числом (то есть его можно разложить на простые множители).

Простые числа – это натуральные (целые и положительные) числа больше единицы, которые имеют два различных натуральных делителя – единицу и самого себя .

Пример простых чисел: 2, 3, 11, 17. Все эти числа без остатка делятся только на 1 или на само себя.

 

Составные числа — это натуральные (целые и положительные) числа больше единицы, которые имеют три или более натуральных делителей.

Примеры составных чисел: 4, 25, 36.

4 делится на 1, на 2 и на 4.

25 делится на 1, на 5 и на 25.

36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 9, на 12, на 18 и на 36.

Поэтому все эти числа – составные.

 

Число 1 не причисляется ни к простым ни к составным числам , так как имеет только один положительный делитель.

Свойства простых чисел

 

Свойство 1

Если P1 и P2 различные простые числа (P1>P2), то P2 не делится без остатка (нацело) на P1.

 

 

Свойство 2

Для любого натурального числа больше единицы наименьший отличный от единицы натуральный делитель всегда является простым числом.

Также это свойство можно сформулировать следующим образом.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего 1, является простым числом.

Докажем эту теорему.

Пусть a – натуральное число, больше 1, и b – наименьший положительный и отличный от 1 делитель числа a. Докажем, что b – простое число, используя метод от противного.

Пусть, b – составное число. Так как b – составное число, то существует делитель числа b, который отличен как от 1, так и от b. Обозначим этот делитель b1. Согласно свойствам делимости, абсолютная величина делителя не превосходит абсолютной величины делимого. Поэтому должно выполняться условие: 1<b1<b.

Так как число a делится на b, а по предположенному условию b делится на b1, то из понятия делимости следует, что существуют такие целые числа q и q1, что:

доказательство теоремы о простых числах

и:

доказательство теоремы о простых числах

Подставим значение b в формулу для a. Получим:

доказательство теоремы о простых числах

Так как произведение двух целых чисел – целое число, то из выше записанного равенства для a, следует, что b1 – делитель числа a.

Итак, b1 – делитель числа a, и как было показано выше 1<b1<b. Но по условию b – наименьший положительный и отличный от 1 делитель числа a. получили противоречие. Следовательно, наименьший положительный и отличный от 1 делитель числа является простым числом.

 

Свойство 3

Число 2 — это единственное простое четное число. Любое другое четное число делится на 2, следовательно, имеет более 2 делителей и поэтому является составным.

 

 

Свойство 4

Простых чисел бесконечно много.

 

Бесконечное множество простых чисел доказал греческий математик Евклид.

Проект Great Internet Mersenne Prime Search, перед которым стоит задача поиска большого числа простых чисел особо редкого вида, недавно открыл самое большое простое число, известное на сегодняшний день. В нем 23 249 425 цифр.

Новое число, которое записывается как 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1 (два в 77 232 917-й степени минус один), было обнаружено волонтером, который посвятил 14 лет вычислительного времени этому поиску.

Как определить, является ли число простым?

 

Является число простым или составным, можно определить с помощью таблицы простых чисел.

Обычно, чисел в таблице бывает достаточно для решения большинства примеров. Но если же нужно определить, является ли простым число, которого нет в таблице, то можно самим продолжить составление таблицы простых чисел. Для этого используют решето Эратосфена.

В некоторых задачах просят определить является ли число простым.

Виды простых чисел

 

Взаимно простые числа

Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель равен единице.

Например, 3 и 7, 11 и 13, 29 и 19 .

 

Круговые простые числа

Круговым простым числом называется число, в котором все перестановки его цифр с конца в начало являются простыми числами.

Например, 13 и 31, 73 и 37, 107 и 701, 709 и 907.

Существует 13 таких простых чисел меньше 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97.

 

Числа близнецы

Близнецами называют простые числа, разделенные единственным составным числом. Например, числа близнецы выделены красным:

3, 4 , 5;

5, 6, 7;

11, 12, 13;

17, 18, 19.

Установлено, что близнецы встречаются на всем протяжении исследованного натурального ряда.

 

Абсолютно простые числа

Абсолютно простым числом называется такое простое число, если при любой перестановки его цифр снова получается простое число.

Например, 13 и 31, 17 и 71, 37 и 73, 79 и 97.

Абсолютно простое число может состоять не более чем из двух различных цифр.

 

Числа палиндромы

Палиндромом называют числа, которые справа налево и слева направо читаются одинаковым образом. Любой простой палиндром состоит из нечетного количества цифр (за исключением 11), так как любой палиндром с четным количеством цифр всегда делится на 11.

Например, 2, 3, 5, 7, 11, 101, 313, 727 и т.д.

Проблема Гольдбаха

 

Проблема Гольдбаха — это утверждение о том, что любое четное число, начиная с 4, можно представить в виде двух простых чисел.

Например,

4=2+2

12=5+7

86=13+73

 

Кристиан Гольдбах сформулировал это предположение в 1742 году.

Проблема Гольдбаха является известной открытой математической проблемой; в совокупности с гипотезой Римана включена под номером 8 в список проблем Гильберта (1900) и является одной из немногих проблем Гильберта, до сих пор остающихся нерешёнными по состоянию на 2019 год.

Понятие простых чисел является основным при изучении делимости натуральных (целых положительных) чисел.

Основная теорема о делимости устанавливает, что всякое целое положительное число кроме одного единственным образом разлагается в произведение простых чисел.

Практическое применение простых чисел

 

Одно из самых распространенных применений простых чисел в повседневной жизни, не связанное с применением в области математики —шифрование данных.

Гипотеза Римана

 

Простые числа изучаются уже более 3000 лет, и они имеют простое описание, но открытых вопросов об их свойствах больше, чем ответов на них.

Многие из наиболее интересных вопросов о простых числах как с практической, так и с теоретической точки зрения заключаются в том, какое количество простых чисел имеют то или иное свойство.

Так, известно, что единственной парой простых чисел, отличающихся на единицу, являются 2 и 3. А вот существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на 2 не известно.

На первый взгляд простые числа нельзя спрогнозировать, т.е. нельзя сказать точно, какое значение будет у следующего простого числа.

Например, есть простые числа: 41, 43, 47. А каким простым числом за 47 будет следующее? Это число 53. А за 53? Это 59. А следующее за 59?

Или, есть таблица простых чисел от 2 до 1000, в которой эти числа представлены, но вот каким будет простое число после 997?

На самом же деле есть некая закономерность распределения простых чисел среди натуральных. Эта закономерность описывается гипотезой Римана, которую он сформулировал в 1859 году, но до сих пор эта гипотеза не доказана. На сегодняшний день среди математиков есть те, кто утверждает, что доказал эту гипотезу, но пока международное математическое сообщество ничье доказательство не признала.

Гипотеза Римана входит в список задач тысячелетия. За ее решение Математический институт Клэя в США обязывается выплатить награду в один миллион долларов США.