Содержание раздела

История формул сокращенного умножения

За много веков до нашей эры математикам Китая и Древней Греции были известны формулы сокращённого умножения.

Все алгебраические утверждения тогда выражались в геометрической форме.

Древние греки обозначали величины не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не a в квадрате (a2), а «квадрат на отрезке a», не произведение ab, a «прямоугольник, содержащийся между отрезками a и b».

Так как древнегреческие математики решали алгебраические уравнения геометрическим способом, то это направление в математике называлась геометрическая алгебра.

Евклид во второй книге «Начал» сформулировал и доказал ряд алгебраических тождеств.

Например, одно из них сформулировано было так: «если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками». Другими словами, если прямая рассечена на два отрезка, то квадрат этой прямой будет равен сумме квадратов, построенных на этих отрезках, плюс сумма двух прямоугольников, построенных из длин этих отрезков.

Покажем это на рисунке.

 

Геометрический способ вывода формулы квадрата суммы

 

Прямую рассечем на два отрезка отрезок а и отрезок b.

Как появились формулы сокращённого умножения?

В результате получим на прямой отрезок АВ (обозначим концы всего отрезка прямой буквами А и В). длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков a и b:

AB=a+b

Как появились формулы сокращённого умножения?

Покажем, что квадрат всего отрезка равен квадрату суммы отрезков, из которых он состоит:

AB2=(a+b)2

 

На стороне AB построим квадрат ABCD. Для этого под прямыми углами проведем отрезки, равные АВ (AB=BD=CD=AC)

Геометрический способ вывода формулы квадрата суммы

Внутри квадрата построим квадрат со стороной а и его площадь обозначим S1.

Геометрический способ вывода формулы квадрата суммы

Далее построим квадрат со стороной b и его площадь обозначим S2.

Геометрический способ вывода формулы квадрата суммы

В результате образовались: квадрат, площадью S1, квадрат площадью S2 и два прямоугольника, у которых площади равны ab.

Площадь квадрата равна квадрату стороны, значит, по построению: S1= a2, S2=b2.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Значит, площадь построенного прямоугольника будет равна ab. А так как таких прямоугольников два, то их площади будут в два раза больше: 2ab.

Геометрический способ вывода формулы квадрата суммы

Итак, AB2 — это  построенный квадрат.

Запишем, из чего он в результате состоит.

Геометрический способ вывода формулы квадрата суммы

И так как, ранее мы показали, что:

AB=a+b

То, можем записать:

Геометрический способ вывода формулы квадрата суммы

Таким же образом, при помощи отрезков были доказаны квадрат разности и разность квадратов.

Древнегреческий ученый математик Диофант Александрийский в третьем веке до новой эры отказался от геометрических способов выражения. Диофант в своём труде «Арифметика» рассматривал формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов уже алгебраическим способом.

 

Благодаря Виету и Декарту в XVI веке алгебраические тождества получили современную символику.

Исаак Ньютон обосновал математические формулы на современном уровне.

Однако некоторые термины из геометрической алгебры мы используем до сих пор. Например, квадратом мы называем вторую степень числа, кубом третью степень числа.

Треугольник Паскаля

В 1654 году французский математик Блез Паскаль написал «Трактат об арифметическом треугольнике».

 

В 1303 году в книге китайского математика Чжу Шицзе «Яшмовое зеркало четырех элементов» на иллюстрации уже был изображён подобный треугольник.

 

Немецкий математик, астроном Петер Апиан такой треугольник изобразил в учебнике арифметики на титульном листе в 1529 году.

 

Но Паскаль в своем трактате исследует свойства числовой таблицы треугольной формы, которую называли «треугольником Паскаля».

Приведем некоторые свойства треугольника Паскаля:

  • Сумма чисел каждой следующей строки в два раза больше суммы чисел предыдущей строки.
  • В каждой строке сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел на нечётных местах.
  • Если номер строки является простым числом, то и все числа в этой строке, кроме крайних, делятся на её номер.

Около 1677 г Исаак Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени произвольное действительное число.

Бином Ньютона (a+b)n – формула разложения натуральной степени двучлена (a+b)n в многочлен.