Алгоритм использования формул сокращенного умножения

 

Алгоритм использования формул сокращенного умножения поможет понять, как применять эти формулы для несложных преобразований.

Так как для сложных заданий могут потребоваться дополнительные преобразования, то этот алгоритм не подойдет. Но если прорешать большое количество простых примеров с использованием формул сокращенного умножения, то нужные формулы и преобразования будут видны сразу.

Применяя алгоритм нужно помнить о типе задания.

Иногда нужно выражение преобразовать таким образом, чтобы множители появились, а иногда нужно, наоборот, раскрыть скобки.

Шаг 1

 

На первом этапе очень важно внимательно посмотреть на задание.

В выражении, которое необходимо преобразовать, нужно попытаться увидеть одну из формул сокращенного умножения:

  • это может быть как левая часть формулы (например, как в задании 1):

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Пытаясь в выражении увидеть формулу, нужно понимать, что на месте элементов формулы (т.е. на месте a и b) могут быть:

  • Числа

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

  • Буквы

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

  • Выражения

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

  • Степени этих элементов могут быть какими угодно

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Если удалось увидеть формулу, то можно воспользоваться ей. После использования формулы можно перепроверить правильность решения, используя формулу в обратную сторону.

Шаг 2

 

Если не удалось сразу обнаружить формулу, то нужно попытаться привести выражение к виду одной из формул.

Для этого каждый из элементов (в более сложных заданиях группу элементов) выражения нужно попытаться представить, как квадрат или куб.

  • если не удалось представить несколько элементов, как квадраты или кубы, то шаг 3 (например, задание 8);
  • если старшая степень, которую удалось выделить у двух элементов – это вторая степень (квадрат), то шаг 4 (например, задание 4);
  • если старшая степень, которую удалось выделить у двух элементов – это третья степень (куб), то шаг 5 (например, задание 17);

Примечание

В качестве элементов выражения могут изначально выступать выражения в степени, например, a8. В этом случае нужно пытаться выделить квадрат. Это будет (a4)2. Т.е. старшая выделенная степень будет 2. Подробнее об этом можно почитать в разобранных примерах.

Число 1 в заданиях можно представлять, как:

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

или

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Шаг 3

 

Попытаться в выражении найти общий множитель и затем вынести его за скобки. После чего вернуться к шагу 1.

Если в результате преобразований не удалось добиться нужного результата, то либо это выражение не решается с применением формул сокращенного умножения, либо нужно проводить дополнительные преобразования.

Шаг 4

 

После того как удалось выделить квадраты двух элементов, нужно посмотреть, нет ли в выражении разности этих квадратов.

Если есть, то применить формулу (например, задание 9):

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Если нет разности двух квадратов, то нужно определить, чему будет равно их удвоенное произведение, причем нужно перемножать элементы, которые находятся под второй степенью: т.е. если два элемента – это (a4)2 и (b3)2, то их удвоенное произведение – это:

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Теперь это удвоенное произведение нужно найти в выражении, которое решаете. Иногда для этого придется провести дополнительные действия (например, задание 6).

Если удвоенное произведение есть, то можно собрать формулу квадрата суммы или разности в зависимости от знака этого удвоенного произведения (например, как в задании 5):

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Если в выражении есть просто произведение этих элементов (не удвоенное), то шаг 6.

Если вообще не удалось найти в выражении произведение двух элементов, то либо это выражение не решается с применением формул сокращенного умножения, либо нужно проводить дополнительные преобразования.

Шаг 5

 

Нужно определить, чему будет равно (например, задание 19):

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

причем нужно перемножать элементы, которые находятся под третьей степенью: т.е. если два элемента – это (a4)3 и (b3)3, то определять надо – это:

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Теперь полученные произведения нужно найти в выражении, которое решаете. Иногда для этого придется провести дополнительные действия.

Если произведения есть, то можно собрать формулу куба суммы или разности в зависимости от знаков в выражении:

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Если вообще не удалось выделить формулу куба суммы или разности, то:

  • или для суммы (разности) 2-х кубов воспользоваться формулой суммы (разности) кубов:

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

  • или нужно проводить дополнительные преобразования;
  • или это выражение не решается с применением формул сокращенного умножения.

 

Примечание:

Если в рассматриваемом выражении знаки чередуются, то скорее всего будет использована формула куба разности:

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Шаг 6

 

Если в выражении есть квадраты двух элементов и есть их произведение, то нужно попытаться найти в выражении множитель из суммы или разности этих элементов (например, задание 22).

Если такой множитель удалось найти, то применить формулу сумму кубов или формулу разности кубов:

Алгоритм использования формул сокращенного умножения

Примечание:

Если в рассматриваемом выражении знаки чередуются, то скорее всего будет использована формула разности кубов.