Треугольник Паскаля – это арифметический треугольник. Он служит для возведения двучлена в любую степень. Состоит треугольник из коэффициентов одночленов, входящих в состав формулы n-степени сумм двух чисел.

Треугольник Паскаля – равнобедренный треугольник, у которого на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число в нем равно сумме двух, расположенных над ним чисел. Строки треугольника Паскаля симметричны относительно вертикальной оси.

Продолжать треугольник можно бесконечно.

Треугольник Паскаля

где n – натуральное число и:

Треугольник Паскаля

Построение треугольника Паскаля

 

Для того, чтобы заметить закономерность в формуле n-ой степени двучлена  при различных значениях n, выпишем их, начиная с n=1 и заканчивая n=5.

Треугольник Паскаля

Рассматривая формулы, можно заметить, что в правой части каждой из них записан многочлен, содержащий n+1 членов, где n – показатель степени двучлена.

Первый член многочлена равен an, т.е. равен произведению an и b0. Далее при переходе к каждому последующему члену, показатель степени a уменьшается на единицу, а показатель степени b увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна n.

Сложнее обстоит дело с коэффициентами. Чтобы выявить закономерность в их образовании, выпишем по порядку в строку коэффициенты многочленов при n=2, а затем при n=3.

Треугольник Паскаля

Во второй строке первый и последний коэффициенты равны одному. Нетрудно заметить, что второй коэффициент можно получить, сложив записанные над ним числа 1 и 2, третий – сложив над ним числа 2 и 1.

По тому же правилу получаем строку для n=4, из строки, записанной для n=3.

Треугольник Паскаля

Аналогично из строки 1 4 6 4 1 можно получить строку, в которой выписаны коэффициенты многочлена, получившиеся при возведении двучлена (a+b) в 5 степень.

Треугольник Паскаля

Если добавить строку для n=0 (a≠0 или b≠0), то коэффициенты всех строк можно расположить в виде треугольника.

Треугольник Паскаля

В нем «топовые стороны» состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним. Этот треугольник и называется треугольником Паскаля.

Продолжая запись по подмеченному правилу, можно получить строку коэффициентов для n=6, 7 и т.д. в формуле:

Треугольник Паскаля

Еще одна закономерность в треугольнике Паскаля:

Сумма коэффициентов при n=0, n=1, n=2 и т.д. равна соответственно : 20, 21, 22, 23 и т.д.

В равенстве:

Треугольник Паскаля

сумма коэффициентов многочлена равна 2n.

 

Для возведения двучлена в любую натуральную степень служит формула, называемая формулой бинома Ньютона.

"Бином Ньютона"

Тогда получим:

"Треугольник Паскаля"

Числа, стоящие в каждой следующей строке треугольника Паскаля, получаются сложением соответствующих чисел предыдущей строки и являются коэффициентами разложения при данном n.

При этом показатели степени числа a убывают от n до 0, а показатели степени числа b возрастают от 0 до n.

Примеры

 

Пример 1

Треугольник Паскаля

 

Пример 2

Треугольник Паскаля