Выделение полного квадрата проводится следующим способом.

 

Пусть дан квадратный трехчлен:

Выделение полного квадрата

Выделим полный квадрат.

 

Шаг 1

 

Вынесем за скобку старший коэффициент, получим:

Выделение полного квадрата

Шаг 2

 

Формула квадрата суммы имеет вид:

решение квадратных уравнений выделением полного квадрата

В выражении в скобках есть x2:

Выделение полного квадрата

Значит преобразуем его таким образом, чтобы появились нужные слагаемые.

Шаг 3

 

Не хватает удвоенного произведения первого слагаемого на второе. Значит, добавим его.

Чтобы уравнение не изменилось, для этого bx/a умножим и разделим на 2:

`Выделение полного квадрата

Шаг 4

 

Теперь, чтобы собрать формулу полного квадрата, не хватает квадрата второго слагаемого.

В удвоенном произведении помимо множителя x присутствует множитель b/2a. Значит, для формулы полного квадрата суммы не хватает (b/2a)2.

Для того, чтобы выражение не изменилось, мы должны прибавить и отнять (b/2a)2 (так как +(b/2a)2 – (b/2a)2 =0):

Выделение полного квадрата

Шаг 5

 

Собираем формулу:

Выделение полного квадрата

Первые три слагаемых представляют из себя развернутый вид формулы квадрата суммы. Воспользуемся ей:

Выделение полного квадрата

Вынесем -1 за скобку:

Выделение полного квадрата

Приведем вторую скобку к общему знаменателю:

Выделение полного квадрата

Раскроем скобки. Так как a не равно нулю по условию (если a=0, то не будет квадратного трехчлена, а будет линейное уравнение), то сократим на a:

Выделение полного квадрата

Итак, можем записать:

Выделение полного квадрата

Преобразование

Выделение полного квадрата

называется выделением полного квадрата.