Содержание раздела

История развития понятия «Степень числа»

Древние математики умели пользоваться сложением, вычитанием умножением, делением. А вот понятие «возведение в степень» сложилось позднее.

 

Первые натуральные степени чисел в III веке Диофант описывал так: «Все числа состоят из некоторого количества единиц…Среди них находятся квадраты, получающиеся от умножении некоторого числа самого на себя. Это же число называется стороной квадрата. Затем кубы, получающиеся от умножения квадрата на его сторону. Далее квадратно-квадрат – от умножения квадратов самих на себя. Далее квадратно-кубы, получающиеся от умножения квадрата на куб его стороны. Далее кубо-кубы – от умножения кубов самих на себя.»

Греческий математик Диофант в III веке написал свой труд «Арифметика». В этой работе он ввел символы для первых 6 степеней.

В своих работах французский математик Франсуа Виет для обозначения степеней применял сокращения:

N (Numerus – число) – для второй степени?

C (cubus – куб) – для третьей степени,

QQ – для четвертой степени и так далее.

 

Некоторые математики, чтобы показать возведение в степень, писали a∙a, a∙a∙a, a∙a∙a∙a.

Ученые математики решали сложные алгебраические задачи и в своих работах им приходилось пользоваться сложной символикой, когда речь заходила о возведении в степень. Во-первых, было много символов. Во-вторых, у каждого математика была своя символика. Эти аспекты делали сложным восприятие математических трудов.

Чтобы упростить сложность обозначения возведения в степень, для начала нужно было ввести единые обозначения и, кроме того, сократить число символов.

Многие математики XII века поняли, что показатель степени должен быть выражен числом.

 

Название показателя степени ввёл немецкий математик Михаэль Штифель в 1544 г.

Штифель оставил заметный след в развитии алгебры. В его главном труде Arithmetica integra (Нюрнберг, 1544) он дал содержательную теорию отрицательных чисел, возведения в степень, различных прогрессий и других последовательностей. Штифель впервые использовал понятия «корень» и «показатель степени» .

В своей книге «Полная арифметика» (Arithmetica integra), во-первых, Михаэль Штифель ввел термин potenzieren – что в переводе означает возведение в степень. Во-вторых, он ввел термин Exponens в переводе показатель.

Далее Симон Стевин (нидерландский математик) предложил называть степени по их показателям.

Французский математик Николай Орем (1325 – 1382) написал книгу «Вычисление пропорций» (Algorismus proportionum). В этой книге уже есть дробный показатель степени.

 

Никола Шюке – французский математик в 1484 написал трактат «Наука о числах». Он ввел отрицательный и нулевой показатель. Далее в свою символику он ввёл определение показателя степени. Мелким шрифтом он писал его сверху и справа от коэффициента.

 

В 1637 Рене Декарт написал «Геометрию». В этом труде появилась современная запись показателя степени. Он записывал показатель степени правее и выше переменной:a3,a4, a5 и т.д. Однако вторую степень он записывал как произведение a∙a.

Исаак Ньютон в 1676 г. уже использовал современную запись для отрицательных и дробных показателей.

 

Работы английских математиков Джона Валлиса (1616 – 1703 гг.) и Исаака Ньютона (1643 – 1727 гг.) дали современное определение и обозначение степени с отрицательным, нулевым и дробным показателем.

Квадратные и кубические корни

Вавилонские математики еще 4000 лет тому назад умели извлекать квадратные корни. Однако, они могли вычислять квадратные корни только приближённо. В результате своих исследований вавилонские ученые составили приближенные таблицы величин квадратных корней из числа.

Муса аль-Хорезми . Квадратные и кубические корни

Муса аль-Хорезми

Wikimedia Commons

Древнегреческий ученый Герон Александрийский в первом веке до новой эры подробно описал метод приближенных вычислений.

 

В трактате среднеазиатского математика Муса аль-Хорезми при решении квадратных уравнений встречается подробное извлечение квадратного корня. Этот трактат-учебник математики назывался «Книгой о восполнении и противопоставлении» («Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала»).

Он был выпущен около 830 года. Во-первых, в этом учебнике был дан метод решения линейных и квадратных уравнений. Во-вторых, Муса аль-Хорезми решал уравнение алгебраическим путем, тогда как греки в то время решали квадратное уравнение геометрическим путем.

В 12 веке индийский математик Бхаскара написал трактат «Сиддханта-широмани» («Венец учения»), состоящий из четырёх частей: «Лилавати» посвящена арифметике, «Биждаганита» — алгебре, «Голадхайя» — сферике, «Гранхаганита» — теории планетных движений.

Бха́скара (1114—1185, обычно называемый Бхаскарой II, чтобы отличить его от другого индийского учёного Бхаскары I) — крупнейший индийский математик и астроном XII века.

Бхаскара получал отрицательные корни уравнений, хотя и сомневался в их значимости. Ему принадлежит один из самых ранних проектов вечного двигателя.

В части «Лилавати» он излагал технику вычислений. Во-первых, в ней он отмечал, что положительное число имеет два корня: один положительный и один отрицательный. Во-вторых, что из отрицательного числа нельзя извлечь квадратный корень.

Книга «Лилавати» в странах Азии была образцом учебника по технике вычислений. В 1816 году она была напечатана в Калькутте и с тех пор неоднократно переиздавалась в качестве учебника математики.

У математиков в эпоху Возрождения не было единого обозначения квадратного корня. Некоторые европейские математики обозначали корень латинским словом Radix (корень) или сокращённо буквой R. От этого обозначения произошёл термин «радикал». В последствии этим термином стали называть знак корня.

 

Для обозначения квадратного корня в 15 веке некоторые немецкие математики пользовались точкой. Перед числом иск которого нужно было извлечь корень поставили точку. В дальнейшем стали ставить ромбик ◊ вместо точки.

 

Преподаватель математики из Вены Кристов Рудольф в своем учебнике использовал знак √.

 

Кристоф (Христоф) Рудольф (1499—1545) — немецкий математик, автор первого немецкого учебника алгебры, в котором предложил знак радикала, закрепившийся в науке.

 

Позднее в 16 веке фламандский математик Симон Стевин и французский математик Альберт Жирар после знака √ справа в кружочке писали показатель корня. Например, √③ или √④.

 

Некоторые математики ставили знак √ и над выражением, из которого извлекали корень, ставили черту.

 

Со временем знак √ и черту начали соединять.

 

Позже Альберт Жирар предложил писать над знаком радикала показатель кубического корня, а также показатели высших степеней.

 

Постепенно такая форма записи стала вытеснять знак R.

В 1637 Рене Декарт в своем труде «Геометрия» применил новое обозначение корня.

 

В 1690 году вышла книга французского математика Мишеля Ролля «Руководство алгебры». В этой книге впервые была использована такая форма записи корня, которую позднее приняли все математики.

 

В последствии знак √ стали называть знаком арифметического квадратного корня, а арифметический квадратный корень из числа а стали обозначать √a.