Свойство сравнения для натурального показателя степени

 

Если a и b – положительные числа, то для любого положительного n справедливо неравенство:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

т.е. из двух степеней с одинаковым положительным показателем степени n меньше та, основание которой меньше, и больше та, основание которой больше.

 

 

Свойство сравнения для отрицательного (целого) показателя степени

 

Если a и b – положительные числа, то для любого не положительного n (n≤0) справедливо неравенство:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

т.е. из двух степеней с одинаковым отрицательным показателем степени n больше та, основание которой меньше, и меньше та, основание которой больше.

 

 

Свойство сравнения для рационального показателя степени

 

Если a и b – положительные числа, то для любого положительного m/n справедливо неравенство:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

т.е. из двух степеней с одинаковым положительным показателем степени m/n меньше та, основание которой меньше, и больше та, основание которой больше.

 

Если a и b – положительные числа, то для любого не положительного m/n (m/n≤0) справедливо неравенство:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

т.е. из двух степеней с одинаковым отрицательным показателем степени n больше та, основание которой меньше, и меньше та, основание которой больше.

Доказательство свойства сравнения степеней

 

Доказательство для натурального показателя степени (т.е. когда n >0)

 

Рассмотрим неравенство:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Это неравенство представляет собой произведение левых и правых частей n верных неравенств a<b. Отсюда, по свойству неравенств справедливо:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Что и требовалось доказать.

Доказательство для целого показателя степени

 

Для доказательства этого свойства для целого показателя степени воспользуемся определением степени с целым показателем:

"Сравнение степеней"

Когда n>0 получаем вариант степени с натуральным показателем, доказательство которого приведено выше.

Пусть n=0.

Тогда:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Т.е.

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Теперь рассмотрим случай, когда n≤0 и докажем, что:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Рассмотрим выражение:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Согласно определению числа в отрицательной степени:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Так как по условию, a<b и n>0, то согласно доказанному выше неравенству:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Отсюда:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Значит:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Отсюда следует, что:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Что и требовалось доказать.

Доказательство для рационального показателя степени

 

Докажем сначала, что для положительных чисел a и b, таких что a<b и m/n>0 (причем m – целое число, n – натуральное) справедливо неравенство:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Так как m/n>0, а n – натуральное число (т.е. n>0), значит m>0.

По свойству сравнения для положительных чисел при a<b и m>0:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

По свойству корней:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

По определению степени с дробным показателем:

 Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями 

Отсюда:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Теперь рассмотрим случай, когда m/n<0. Так как n – натуральное число (т.е. n>0), значит m<0.

По свойству сравнения для положительных чисел при a<b и m<0:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

По свойству корней:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

По определению степени с дробным показателем:

 Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Отсюда:

Сравнение степеней с одинаковым показателем степени и разными основаниями

Что и требовалось доказать.

Доказательство для иррационального показателя степени

 

Из определения степени с иррациональным показателем, следует, что доказательство будет основано на доказательстве этого свойства для дробной степени.