Отрицательное число в четной степени будет числом положительным:

 

Степень отрицательного числа

 

Отрицательное число в нечетной степени будет числом отрицательным:

 

Степень отрицательного числа

Степень отрицательного числа. Доказательство свойств

 

Возьмем число, которое меньше нуля:

Степень отрицательного числа

Рассмотрим случай, когда показатель степени – четное натуральное число. Обозначим его 2n.

Рассмотрим:

Степень отрицательного числа

По свойству возведения степени в степень, это выражение можно представить в следующем виде:

Степень отрицательного числа

Из определения степени с натуральным показателем следует:

Степень отрицательного числа

Согласно правилу умножения отрицательных чисел каждое из произведений (a·a) будет равно произведению модулей чисел a и a, и значит, будет являться положительным числом. Следовательно, положительным числом будет все произведение:

Степень отрицательного числа

Таким образом, доказано, что отрицательное число в четной степени будет числом положительным.

Теперь рассмотрим случай, когда показатель степени – нечетное число. Обозначим его через 2n+1.

Рассмотрим:

Степень отрицательного числа

По свойству произведения степеней:

 Степень отрицательного числа

По доказанному выше: отрицательное число в четной степени – число положительное:

Степень отрицательного числа

Таким образом, положительное число умножается на отрицательное. Результат такого умножения – отрицательное число:

Степень отрицательного числа

Что и требовалось доказать.