Определение квадратного корня

 

Квадратный корень из числа неотрицательного a – это число b, квадрат которого (т.е. b2) равен a.

Определение квадратного корня

 

Символ квадратного корня

Определение квадратного корня

 

Также квадратный корень можно определить через модуль.

Определение радикала

 

Также этот символ называют знаком радикала. поэтому действия с корнями называют также действиями с радикалами.

 

Подкоренное выражение – выражение, записанное под знаком корня.

Определение квадратного корня

Пример

 

Возьмем число:

Определение квадратного корня

Возведем его в квадрат (обозначим квадрат буквой a):

Определение квадратного корня 

Воспользуемся определением квадратного корня: число 3=b является квадратным корнем из числа 9, так как:

Определение квадратного корня

Т.е. квадратный корень равен числу, которое нужно возвести в квадрат, чтобы получить подкоренное выражение.

Квадратный корень из 9 равен числу 3, так как 3 нужно возвести в квадрат, чтобы получить подкоренное выражение – 9:

Определение квадратного корня

Извлечение квадратного корня – это действие, обратное возведению в квадрат:

Определение квадратного корня

Не для любого числа a, стоящего под знаком квадратного корня существует действительное число, квадрат которого равен a.

Нет такого числа b, которое при возведении в квадрат даст отрицательное значение:

Определение квадратного корня

Любое действительное число в квадрате – число неотрицательное.

Вернее, такие числа существуют и называются комплексными (мнимыми) числами. Но так как в данном разделе тема корней раскрывается для действительных чисел, то свойства корней для комплексных чисел здесь рассматриваться не будут.

 

Таким образом, очевидно, что под знаком квадратного корня не может стоять отрицательное число. Значит, выражение, стоящее под знаком квадратного корня всегда неотрицательное (a больше или равно нулю), т.е. на множестве действительных чисел не существует квадратного корня из отрицательного числа:

Определение квадратного корня

Квадратный корень можно записывать в виде степени с дробным показателем. Данная запись следует из определения степени с дробным показателем:

Определение квадратного корня

Квадратный корень (корень второй степени) – это единственный корень, который принято писать без цифры на корне.

 

Квадратные корни из положительных чисел записываются с помощью знака квадратного корня со знаком плюс и со знаком минус, перед корнем.

Пример 1

 

Квадратный корень из числа 5 равен:

Определение квадратного корня 

 

Пример 2

 

Квадратный корень из числа 11 равен:

Определение квадратного корня

 

Пример 3

 

Квадратный корень из числа 25 равен:

Определение квадратного корня

Для простоты работы с корнями разделили положительные и отрицательные значения квадратного корня и ввели понятие арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень может принимать только положительные значения. Квадратный корень, для которого не требуется, чтобы его значения были только положительными числами, называется алгебраический квадратный корень.

 

Тогда изменим задание примера 3.

Найти арифметический квадратный корень из числа 25.

Арифметический квадратный корень из числа 25 будет равен:

Определение квадратного корня

 

В школьном курсе математики чаще всего задания даются для арифметического квадратного корня, но это не всегда указывается и потому возникает путаница, почему корень не может быть равен отрицательному числу.

Поэтому нужно быть внимательным: если в задании указано, что действия происходят с арифметическими корнями, то значением таких корней могут быть только положительные числа.