Двойной радикал (или сложный радикал или двойной корень) – это выражения вида:

двойной корень

Преобразовать двойной корень – это избавиться от внешнего корня.

Избавиться от внешнего корня можно:

  • выполнив алгебраические действия;
  • привести подкоренное выражение к полному квадрату;
  • воспользовавшись тождеством:

двойной корень

Особенно удобно пользоваться данным тождеством, когда выражение (a2-b) является полным квадратом.

 

 

Доказательство тождества, которое освобождает от двойного корня

 

Для доказательства тождеств возведем в квадрат левую и правую части.

Возведем левую часть:

двойной корень

Возведем правую часть, воспользовавшись формулой квадрата суммы и разности, формулой разности квадратов, а также свойствами корней:

двойной корень

Итак, мы показали, что левая часть равна правой части, следовательно, тождество – верное.

Рассмотрим на примерах способы освобождения от двойного радикала.

 

Пример 1

 

Освободиться от внешнего радикала:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Чтобы освободиться от внешнего радикала, нужно, либо подкоренное выражение представить в виде полного квадрата или суммы и разности:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Либо воспользоваться тождеством:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Либо, если ни один из способов не помогает, то проводить нестандартные преобразования.

 

Итак, наш пример.

Проще всего пользоваться тождеством преобразования. Только вот в тождестве перед корнем из b нет множителя, а в нашем примере стоит 28.

Значит, будем выделять полный квадрат.

Так как под корнем записана сумма, то выделять будем квадрат суммы.

Формула квадрата суммы имеет вид:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Подбирать нужные значения удобнее всего через слагаемое с корнем, так как оно будет удвоенным произведением в наших преобразованиях:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Чтобы было проще, сократим на 2 обе части уравнения:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Теперь для наглядности, я разложу на множители левую часть уравнения, причем, в этом случае, никогда не забывайте про 1 в качестве множителя:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Т.е. я могу записать:

примерах способы освобождения от двойного радикала

И вот теперь я переберу возможные комбинации из этих множителей таким образом, чтобы сумма их квадратов дала 61.

примерах способы освобождения от двойного радикала

Мы нашли наши множители:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Таким образом, подкоренное выражение можно представить вот в таком виде:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Можем собрать квадрат суммы:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Пример 2

 

Освободиться от внешнего радикала:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Чтобы освободиться от внешнего радикала, нужно, либо подкоренное выражение представить в виде полного квадрата или суммы и разности:

 

примерах способы освобождения от двойного радикала

Либо воспользоваться тождеством:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Либо, если ни один из способов не помогает, то проводить нестандартные преобразования.

 

Итак, наш пример.

Проще всего пользоваться тождеством преобразования. Только вот в тождестве перед корнем из b нет множителя, а в нашем примере стоит 4.

Значит, будем выделять полный квадрат.

Так как под корнем записана сумма, то выделять будем квадрат суммы.

Формула квадрата суммы имеет вид:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Подбирать нужные значения удобнее всего через слагаемое с корнем, так как оно будет удвоенным произведением в наших преобразованиях:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Чтобы было проще сократим на 2 обе части уравнения:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Теперь для наглядности, я разложу на множители левую часть уравнения, причем, в этом случае, никогда не забывайте про 1 в качестве множителя:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Т.е. я могу записать:

примерах способы освобождения от двойного радикала

И вот теперь я переберу возможные комбинации из этих множителей таким образом, чтобы сумма их квадратов дала 25.

примерах способы освобождения от двойного радикала

Мы нашли наши множители:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Таким образом, подкоренное выражение можно представить вот в таком виде:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Можем собрать квадрат суммы:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Пример 3

 

Освободиться от внешнего радикала:

Пример 3 Освободиться от внешнего радикала: √(32-√1008) Чтобы освободиться от внешнего радикала, нужно, либо подкоренное выражение представить в виде полного квадрата или суммы и разности: a^2±2ab+b^2=〖(a±b)〗^2 Либо воспользоваться тождеством: √(a±√b) =√((a+√(a^2-b))/2)±√((a-√(a^2-b))/2) Либо, если ни один из способов не помогает, то проводить нестандартные преобразования. Итак, наш пример. Проще всего пользоваться тождеством преобразования. И нам ничего не мешает воспользоваться им: a=32 b=1008 И так как в нашем примере стоит знак «-», то в тождестве мы будем ставить знак «-» вместо знака ±. Подставим в тождество наши числа:

Чтобы освободиться от внешнего радикала, нужно, либо подкоренное выражение представить в виде полного квадрата или суммы и разности:

примерах способы освобождения от двойного радикала

Либо воспользоваться тождеством:

Пример 3 Освободиться от внешнего радикала: √(32-√1008) Чтобы освободиться от внешнего радикала, нужно, либо подкоренное выражение представить в виде полного квадрата или суммы и разности: a^2±2ab+b^2=〖(a±b)〗^2 Либо воспользоваться тождеством: √(a±√b) =√((a+√(a^2-b))/2)±√((a-√(a^2-b))/2) Либо, если ни один из способов не помогает, то проводить нестандартные преобразования. Итак, наш пример. Проще всего пользоваться тождеством преобразования. И нам ничего не мешает воспользоваться им: a=32 b=1008 И так как в нашем примере стоит знак «-», то в тождестве мы будем ставить знак «-» вместо знака ±. Подставим в тождество наши числа:

Либо, если ни один из способов не помогает, то проводить нестандартные преобразования.

 

Итак, наш пример.

Проще всего пользоваться тождеством преобразования. И нам ничего не мешает воспользоваться им:

Пример 3 Освободиться от внешнего радикала: √(32-√1008) Чтобы освободиться от внешнего радикала, нужно, либо подкоренное выражение представить в виде полного квадрата или суммы и разности: a^2±2ab+b^2=〖(a±b)〗^2 Либо воспользоваться тождеством: √(a±√b) =√((a+√(a^2-b))/2)±√((a-√(a^2-b))/2) Либо, если ни один из способов не помогает, то проводить нестандартные преобразования. Итак, наш пример. Проще всего пользоваться тождеством преобразования. И нам ничего не мешает воспользоваться им: a=32 b=1008 И так как в нашем примере стоит знак «-», то в тождестве мы будем ставить знак «-» вместо знака ±. Подставим в тождество наши числа:

И так как в нашем примере стоит знак «-», то в тождестве мы будем ставить знак «-» вместо знака ±. Подставим в тождество наши числа:

Пример 3 Освободиться от внешнего радикала: √(32-√1008) Чтобы освободиться от внешнего радикала, нужно, либо подкоренное выражение представить в виде полного квадрата или суммы и разности: a^2±2ab+b^2=〖(a±b)〗^2 Либо воспользоваться тождеством: √(a±√b) =√((a+√(a^2-b))/2)±√((a-√(a^2-b))/2) Либо, если ни один из способов не помогает, то проводить нестандартные преобразования. Итак, наш пример. Проще всего пользоваться тождеством преобразования. И нам ничего не мешает воспользоваться им: a=32 b=1008 И так как в нашем примере стоит знак «-», то в тождестве мы будем ставить знак «-» вместо знака ±. Подставим в тождество наши числа: