Целые выражения и их преобразование в многочлен

Определение целого выражения

 

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями (произведение одинаковых множителей в целом выражении может быть записано в виде степени).

К целым выражениям относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля.

Многочлены и одночлены являются целыми выражениями.

Пример целого выражения

Определение целого выражения

 

Пример выражения, которое не является целым

Пример выражения, которое не является целым

Данное выражение не является целым, так как в нем используется деление на выражение с переменной.

Преобразование целого выражения в многочлен

 

Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.

 

Если некоторые одночлены и многочлены в составе исходного выражения записаны не в стандартном виде, то на первом этапе их нужно привести к стандартному виду.

 

Преобразование целого выражения в многочлен используется при решении уравнений, доказательств тождеств, в задачах на делимость и т.д.

Пример 1

Преобразовать целое выражение в многочлен стандартного вида:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Данное выражение является целым, так как содержит деление на число, отличное от нуля.

Шаг 1

Заменим деление умножением на число, обратное делителю. Получим выражение,

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 2

Раскроем скобки:

 Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 3

Приведем подобные:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Ответ: исходное целое выражение представили в виде многочлена стандартного вида:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Пример 2

 Преобразовать целое выражение в многочлен стандартного вида:

Преобразование целого выражения в многочлен

Шаг 1

Откроем скобки:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 2

Приведем подобные:

 Преобразовать целое выражение в многочлен

Ответ: исходное целое выражение представили в виде многочлена стандартного вида:

Преобразование целого выражения в многочлен

Пример 3

Преобразовать целое выражение в многочлен стандартного вида:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Это выражение содержит скобки, возведение в степень, действия разных ступеней.

Воспользуемся порядком выполнения действий.

Шаг 1

Сначала нужно выполнить действия в скобках. Но в скобках нет подобных, поэтому никак упростить выражение в скобках мы не можем. Значит, оставляем так как есть.

Шаг 2

Следующее действие – это возведение в степень. Для этого воспользуемся формулой квадрата разности.

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 3

Так как в выражении есть знак дроби, то переходим к нему:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 4

Выражение примет вид:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Выполним действие умножения:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 5

Приведем подобные:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Ответ: исходное целое выражение представили в виде многочлена стандартного вида:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Пример 4

Преобразовать целое выражение в многочлен стандартного вида:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 1

Преобразуем дробь: заменим деление умножением, т.е. числитель умножим на число, противоположное знаменателю:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 2

Сначала выполним действия в скобках:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 3

Выражение примет вид:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 4

Выполним умножение:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Шаг 5

Приведем подобные:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Ответ:

Преобразовать целое выражение в многочлен

Пример 5

 

Представить выражение в виде многочлена:

Представить выражение в виде многочлена

Так как в этом выражении есть деление на переменную (v2), то это не целое выражение. Поэтому его нельзя преобразовать в многочлен.

Пример 6

 

Представить выражение в виде многочлена:

Представить выражение в виде многочлена

Так как в этом выражении есть деление на переменную (P), то это не целое выражение. Поэтому его нельзя преобразовать в многочлен.

Ссылки по теме:

 

Понятие математических выражений

Числовые выражения. Определение и значения

Буквенные (алгебраические) выражения. Значения буквенных выражений

Как найти значение выражения. Примеры с решениями

Некоторые виды буквенных выражений

Выражения с переменными

Область определения выражения с переменными

Допустимые значения букв в алгебраическом выражении

Когда буквенное выражение является формулой

Свойства действий над числами

Основные законы сложения и умножения (законы математики)

Как раскрывать скобки

Общий числовой множитель выражений. Вынесение общего множителя за скобки

Общий буквенный множитель

Как приводить подобные слагаемые

Замены в выражениях

Преобразование выражений. Как упростить выражение

Сравнение значений выражений

Числовой коэффициент выражения. Как найти числовой коэффициент выражения

Деление целых алгебраических выражений