Вынесение общего множителя за скобки в буквенном выражении

 

В буквенных выражениях также, как и в числовых можно выносить общий множитель за скобки.

Например, в буквенных выражениях:

3a, 4ab+3b, 5c+2k

3, 4, 5, 2 – числа, стоящие перед буквенными множителями – числовые коэффициенты.

a, b, c, k – переменные, которые могут быть любым числом. А это значит, что они могут быть общим множителем, который можно выносить за скобку.

На примерах, представленных ниже, рассмотрим, как выносить буквенный коэффициент за скобку.

Примечание

Так как при вынесении общего множителя за скобку появляется операция деления, то чтобы вынести букву за скобку, нужно прежде убедиться, что она не принимает значение 0 (так как на нуль делить нельзя).

Во всех рассматриваемых примерах переменные не равны нулю по условию.

Пример 1

Вынести за скобки общий множитель в выражении:

Вынесение общего множителя

Оба слагаемых содержат один и тот же буквенный множитель a, следовательно, это и будет общий множитель. Так как числовые коэффициенты – простые числа, то они не содержат общего числового множителя. Значит, выносим за скобку а. для этого разделим каждое слагаемое на вынесенный общий множитель:

Вынесение общего множителя

Так как по условию переменная а не равна нулю, то можем на нее сократить слагаемые в скобках:

Вынесение общего множителя

Ответ:

Вынесение общего множителя

Буквенные выражения содержат не только буквы, но и числа. Поэтому, если числовые коэффициенты содержат общий множитель, то он тоже выносится за скобки вместе с буквой.

 

Пример 2

Вынести за скобки общий множитель в выражении:

Вынести общий буквенный множитель

Оба слагаемых содержат один и тот же буквенный множитель a, следовательно, это и будет общий буквенный множитель. Числовые коэффициенты 4 и 12 имеют общий множитель 4. Значит, выносим за скобку 4а. Для этого разделим каждое слагаемое на вынесенные общие множители:

Вынести общий буквенный множитель

Так как по условию переменная а не равна нулю, то можем на нее сократить слагаемые в скобках, и на 4:

Вынести общий буквенный множитель

Проверим получившийся ответ. Для этого умножим 4а на каждое слагаемое в скобке, и если получим исходное выражение 4а+12а, то задание решено верно:

Вынести общий буквенный множитель

Ответ:

Общий буквенный множитель

Пример 3

Рассмотрим пример на вынесение общего множителя за скобки:

Вынести общий буквенный множитель

Слагаемые 2а, 6b и 12с не содержат общего буквенного множителя, а числовые коэффициенты имеют общий множитель 2. Вынесем 2 за скобки:

Вынести общий буквенный множитель

Общий множитель – это наибольший общий делитель числовых коэффициентов.

Ответ:

Вынести общий буквенный множитель

Пример 4

Вынести за скобки общий множитель в выражении:

Вынести общий буквенный множитель

Буквенные множители во всех 3-х слагаемых одинаковые – это c.

НОД числовых коэффициентов 18, 3 и 6 – это 3.

Следовательно, за скобки вынесем общий множитель 3с:

Вынести общий буквенный множитель

Проверим получившийся ответ. Для этого умножим 3c на каждое слагаемое в скобке, и если получим исходное выражение 12c+3c-6c, то задание решено верно:

Вынести общий буквенный множитель

Ответ:

Вынести общий буквенный множитель

В буквенных выражениях за скобки можно выносить также отрицательный общий множитель.

 

Пример 5

Вынести за скобки общий множитель в выражении:

Вынести общий буквенный множитель

Каждое слагаемое в выражении содержит буквенный множитель b.

НОД числовых коэффициентов 7, 14 и 35 равен 7.

Вынесем за скобки общий множитель -7b, а разность заменим суммой:

Вынести общий буквенный множитель

Ответ:

Вынести общий буквенный множитель

Пример 6

Вынести за скобки общий множитель в выражении:

Вынести общий буквенный множитель

Запишем это выражение в виде суммы:

Вынести общий буквенный множитель

В данном выражении слагаемые не имеют одинаковых буквенных множителей, поэтому буквенный множитель не выносится за скобки.

НОД числовых коэффициентов 3, 9 и 18 равен 3.

Вынесем за скобки общий множитель -3:

Вынести общий буквенный множитель

Ответ:

Вынести общий буквенный множитель

Пример 7

Вынести за скобки общий множитель в выражении:

Вынести общий буквенный множитель

В этом выражении 1-е и 2-е слагаемые имеют буквенный множитель a, а третье слагаемое не имеет. Следовательно, общего буквенного множителя у выражения нет. За скобки вынесем только общий числовой множитель.

Чтобы найти общий числовой множитель, найдем НОД чисел 28, 8 и 12.

НОД (28,8,12)=4

Тогда:

Вынести общий буквенный множитель

Примечание

Можно вынести за скобку буквенный множитель a для двух слагаемых, но это действие не разложит всё выражение на множители. В результате получим вложенную скобку:

Вынести общий буквенный множитель

Ответ:

Вынести общий буквенный множитель

Пример 8

Вынести за скобки общий множитель в выражении:

Вынести общий буквенный множитель

В этом выражении 3-е слагаемое содержит только буквенный множитель b, следовательно, общий буквенный множитель для всего выражения будет b.

Чтобы найти общий числовой множитель, найдем НОД чисел 3, 9 и 6.

НОД (3,9,6)=3

Тогда:

Вынести общий буквенный множитель

Ответ:

Вынести общий буквенный множитель

Пример 9

Вынести общий множитель за скобки в выражении:

Вынести общий буквенный множитель

В этом выражении каждое слагаемое имеет общий буквенный множитель abc. Общего числового множителя выражение не имеет. Значит, вынесем за скобки abc:

Вынести общий буквенный множитель

Ответ:

Вынести общий буквенный множитель

Пример 10

Вынести общий множитель за скобки в выражении:

Вынести общий буквенный множитель

Запишем это выражение в виде суммы:

Вынести общий буквенный множитель

В третьем слагаемом есть буквенный множитель b, которого нет ни в первом, ни во втором слагаемом, следовательно, общий буквенный множитель всего выражения – это ac.

Чтобы найти общий числовой множитель, найдем НОД чисел -4, -18 и -16. Наибольший общий делитель этих чисел равен -2.

Значит, выносим за скобки -2ac:

Вынести общий буквенный множитель

Ответ:

Вынести общий буквенный множитель

Ссылки по теме:

 

Понятие математических выражений

Числовые выражения. Определение и значения

Буквенные (алгебраические) выражения. Значения буквенных выражений

Как найти значение выражения. Примеры с решениями

Некоторые виды буквенных выражений

Выражения с переменными

Область определения выражения с переменными

Допустимые значения букв в алгебраическом выражении

Когда буквенное выражение является формулой

Свойства действий над числами

Основные законы сложения и умножения (законы математики)

Как раскрывать скобки

Общий числовой множитель выражений. Вынесение общего множителя за скобки

Как приводить подобные слагаемые

Замены в выражениях

Преобразование выражений. Как упростить выражение

Сравнение значений выражений

Числовой коэффициент выражения. Как найти числовой коэффициент выражения

Порядок выполнения действий при вычислении алгебраических выражений

Целые выражения и их преобразование в многочлен

Деление целых алгебраических выражений