Общий числовой множитель выражений. Вынесение общего множителя за скобки

 

Если при умножении суммы на число множитель вносят в скобки, умножая каждое слагаемое на этот множитель (скобки затем опускают):

Общий числовой множитель

то при вынесении множителя за скобки, каждое слагаемое делят на этот множитель:

Общий числовой множитель

Как найти общий числовой множитель. Как выносить общий числовой множитель за скобки

 

Чтобы общий множитель вынести за скобки, его сначала нужно найти. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) слагаемых.

 

Пример 1

Вынести общий множитель в выражении:

9+21

 

Решение

Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для слагаемых 9 и 21.

Для этого 9 и 21 разложим на простые множители.

Общий числовой множитель

Можем записать:

Общий числовой множитель

НОД (9,21) = 3

Число 3 является общим множителем слагаемых 9 и 21. Поэтому число 3 вынесем за скобки:

Чтобы вынести общий множитель за скобки

Ответ:

Чтобы вынести общий множитель за скобки

Пример 2

Вынести общий множитель в выражении

18+27

 

Решение

Чтобы вынести общий множитель за скобки в выражении нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для слагаемых 18 и 27.

Для этого 18 и 27 разложим на простые множители.

пример. вынести общий множитель за скобки

Отсюда:

пример. вынести общий множитель за скобки

Тогда НОД (18,27) = 3∙3=9

9 – общий множитель для 18 и 27, а это значит, что 9 можно вынести за скобки:

пример. вынести общий множитель за скобки

Проверим полученное выражение. Если при раскрытии скобок получим выражение 18+27, то общий множитель нашли и вынесли правильно. Для этого согласно распределительному закону умножения умножим 9 на каждое слагаемое в скобках:

пример. вынести общий множитель за скобки

Ответ:

пример. вынести общий множитель за скобки

Пример 3

Вынести общий множитель в выражении:

12+8+28

 

Решение

Вынесем общий множитель за скобки. Для этого найдем НОД для слагаемых 12, 8 и 28.

Для этого 12, 8 и 28 разложим на простые множители.

пример. вынести общий множитель за скобки

Можем записать:

пример. вынести общий множитель за скобки

Тогда НОД (12,8,28) = 2∙2=4

4 – общий множитель для 12, 8 и 28, поэтому вынесем 4 за скобки:

пример. вынести общий множитель за скобки

Проверим полученное выражение. Если при раскрытии скобок получим выражение 12+8+28, то общий множитель нашли и вынесли правильно. Для этого умножим 4 на каждое слагаемое в скобках:

пример. вынести общий множитель за скобки

Значит, вынесли общий множитель правильно.

Ответ:

пример. вынести общий множитель за скобки

Пример 4

Вынести общий множитель в выражении:

18+9

 

Решение

Найдем НОД для слагаемых 18 и 9, чтобы вынести общий множитель за скобки.

Для этого 18 и 9 разложим на простые множители.

пример. вынести множитель за скобки

Тогда:

пример. вынести множитель за скобки

Отсюда НОД (18,9) = 3∙3=9

Вынесем 9 за скобки:

пример. вынести множитель за скобки

Проверим полученное выражение. Если при раскрытии скобок получим выражение 18+9, то общий множитель нашли и вынесли правильно. Для этого умножим 9 на каждое слагаемое в скобках:

пример. вынести множитель за скобки

Так как получили выражение 18+9, то это, значит, нашли и вынесли общий множитель правильно.

Ответ:

пример. вынести множитель за скобки

Пример 5

Вынести общий множитель в выражении:

7+19

 

Решение

Слагаемые 7 и 19 являются простыми числами. Они раскладываются только на единицу и самих себя, значит, у них нет общего множителя кроме единицы:

пример. вынести множитель за скобки

Единицу не имеет смысла выносить за скобку, так как полученное выражение не отличается от исходного.

Пример 6

Вынести общий множитель в выражении:

30+77

 

Решение

Найдем НОД для слагаемых 30 и 77, чтобы вынести общий множитель за скобки.

Для этого 30 и 77 разложим на простые множители.

пример. вынести множитель за скобки

Значит:

пример. вынести множитель за скобки

Отсюда НОД (30,77) = 1

Слагаемые 30 и 77 не имеют общего множителя кроме 1, значит смысла выносить общий множитель за скобки в этом выражении нет.

Пример 7

Вынести общий множитель в выражении:

12+15-21

 

Решение

Чтобы вынести общий множитель за скобки, найдем НОД для слагаемых 12, 15 и 21.

Разложим их на простые множители.

пример. вынести множитель за скобки

Можем записать:

пример. вынести множитель за скобки

Отсюда НОД (12,15,21) = 3

Значит, за скобки можно вынести общий множитель 3:

пример. вынести множитель за скобки

Ответ:

пример. вынести множитель за скобки

Общий множитель, выносимый за скобки, может быть и отрицательным.

Пример 8

Вынести общий множитель в выражении:

-8-12

 

Решение

Так как распределительный закон умножения мы рассматривали для суммы, то представим выражение в виде суммы:

пример. вынести множитель за скобки

На практике можно разность не переписывать в виде суммы, а делать это в уме.

Чтобы вынести общий множитель за скобки, найдем НОД для слагаемых -8 и -12.

Разложим их на простые множители.

пример. вынести множитель за скобки

Можем записать:

пример. вынести множитель за скобки

Отсюда НОД (-8,-12) = -1∙2∙2=-4

Значит, за скобки можно вынести общий множитель -4:

пример. вынести множитель за скобки

НОД слагаемых -8 и -12 может быть и 4.

Можем записать:

пример. вынести множитель за скобки

Значит, за скобки можно вынести общий множитель 4:

пример. вынести множитель за скобки

Посмотрим, будут ли совпадать результаты выражения, после вынесения положительного и отрицательного общего множителя.

пример. вынести множитель за скобки

Или:

пример. вынести множитель за скобки

Значит, за скобки можно выносить как положительные множители, так и отрицательные.

Ответ:

пример. вынести множитель за скобки

Или:

пример. вынести множитель за скобки

Пример 9

Вынести общий множитель за скобки в выражении:

3-15-18

 

Решение

Запишем выражение в виде суммы:

пример. вынести множитель за скобки

Найдем НОД для слагаемых 3, -15 и -18.

НОД (3,-15,-18) = 3

Значит, за скобки можно вынести общий множитель 3:

пример. вынести множитель за скобки

Так как за скобки можно выносить и отрицательный общий множитель, то вынесем (-3):

пример. вынести множитель за скобки

Ответ:

пример. вынести множитель за скобки

Или:

пример. вынести множитель за скобки

Пример 10

Вынести общий множитель за скобки в выражении:

14+21-49

 

Решение

Найдем НОД для слагаемых 14, 21 и -49.

Разложим их на простые множители.

пример. вынести множитель за скобки

Можем записать:

пример. вынести множитель за скобки

Отсюда НОД (14,21,49) = 7

Значит, за скобки можно вынести общий множитель 7:

пример. вынести множитель за скобки

Ответ:

пример. вынести множитель за скобки

Пример 11

Вынести общий множитель за скобки в выражении:

-12+21-39

 

Решение

Найдем НОД для этих слагаемых.

Разложим их на простые множители.

пример. вынести множитель за скобки

Можем записать:

пример. вынести множитель за скобки

Отсюда НОД (12,21,39) = 3

Значит, за скобки можно вынести общий множитель 3:

пример. вынести множитель за скобки

Можем вынести и отрицательный множитель за скобки:

пример. вынести множитель за скобки

Ответ:

пример. вынести множитель за скобки

Или:

пример. вынести множитель за скобки

Ссылки по теме:

 

Понятие математических выражений

Числовые выражения. Определение и значения

Буквенные (алгебраические) выражения. Значения буквенных выражений

Как найти значение выражения. Примеры с решениями

Некоторые виды буквенных выражений

Выражения с переменными

Область определения выражения с переменными

Допустимые значения букв в алгебраическом выражении

Когда буквенное выражение является формулой

Свойства действий над числами

Основные законы сложения и умножения (законы математики)

Как раскрывать скобки

Общий буквенный множитель

Как приводить подобные слагаемые

Замены в выражениях

Преобразование выражений. Как упростить выражение

Сравнение значений выражений

Числовой коэффициент выражения. Как найти числовой коэффициент выражения

Порядок выполнения действий при вычислении алгебраических выражений

Целые выражения и их преобразование в многочлен

Деление целых алгебраических выражений