Основные законы сложения и умножения

  1. Переместительный закон сложения.
  2. Сочетательный закон сложения.
  3. Переместительный закон умножения.
  4. Сочетательный закон умножения.
  5. Распределительный закон умножения по отношению к сложению.

1. Переместительный закон сложения.

От перестановки мест слагаемых сумма не меняется:

 

Пример:

Основные законы сложения и умножения. Примеры

Действительно:

Основные законы сложения и умножения. Примеры

2 Сочетательный закон сложения.

 

Результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий.

 

Или можно сочетательный закон сложения сформулировать иначе.

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

 

Этот закон позволяет группировать слагаемые для удобства их вычислений.

Сочетательный закон сложения

Пример

Сочетательный закон сложения

Действительно,

Сочетательный закон сложения

Этот пример отчетливо показывает важность сочетательного закона сложения.

Пусть нужно найти значение выражения:

Сочетательный закон сложения

Если не пользоваться сочетательным законом, то, будем складывать числа последовательно:

1 действие

Сочетательный закон сложения

2 действие

Сочетательный закон сложения

Тогда:

А теперь воспользуемся сочетательным законом сложения.

Если внимательно посмотреть на выражение, то, очевидно, проще сначала сложить 5 и 95, а затем прибавить 37.

1 действие

Сочетательный закон сложения

2 действие

Сочетательный закон сложения

Тогда:

Очевидно, второй способ вычисления выражения удобнее использовать.

3. Переместительный закон умножения

 

От перемены порядка сомножителей произведение не изменится.

Переместительный закон умножения

 

Пример:

Переместительный закон умножения

Действительно:

Переместительный закон умножения

4. Сочетательный закон умножения

 

Результат произведения нескольких множителей не зависит от порядка действий.

 

Или можно сочетательный закон умножения сформулировать иначе.

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

Этот закон позволяет группировать множители для удобства их вычислений.

Сочетательный закон умножения

Пример

Сочетательный закон умножения

Действительно,

Сочетательный закон умножения

Этот пример отчетливо показывает важность сочетательного закона умножения.

Пусть нужно найти значение выражения:

Сочетательный закон умножения

Если не пользоваться сочетательным законом, то, будем перемножать числа последовательно:

1 действие

Сочетательный закон умножения

2 действие

Сочетательный закон умножения

Тогда:

Сочетательный закон умножения

А теперь воспользуемся сочетательным законом умножения.

Если внимательно посмотреть на выражение, то, очевидно, проще сначала перемножить 0,5 и 10, а затем результат умножить на 13.

1 действие

Сочетательный закон умножения

2 действие

Сочетательный закон умножения

Тогда:

Сочетательный закон умножения

Очевидно, второй способ вычисления выражения удобнее использовать.

5. Распределительный закон умножения по отношению к сложению

 

Распределительный закон умножения позволяет вместо умножения суммы на число, умножить каждое слагаемое по отдельности на число, после чего результат сложить.

 

Чтобы умножить сумму двух (или нескольких) чисел на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученный результат сложить.

Распределительный закон умножения

или:

распределительный закон

Распределительное свойство справедливо и в том случае, когда число умножается на сумму трех и более слагаемых, например,

Распределительный закон умножения

Пример 1

Распределительный закон умножения

 

Пример 2

Число 2 является общим множителем.

или:

 

Иногда бывает выгоднее поступить наоборот. Вместо того, чтобы умножать каждое слагаемое на одно и то же число, сначала находят сумму этих слагаемых и умножают ее на данное число. Это действие называют “внесение множителя в скобки”:

Распределительный закон умножения

Пример 1

Распределительный закон умножения

Пример 2

Распределительный закон умножения

 

Если при умножении суммы на число множитель вносят в скобки, умножая каждое слагаемое на этот множитель (скобки затем опускают):

то при вынесении множителя за скобки, каждое слагаемое делят на этот множитель:

Из переместительного и сочетательного свойств сложения следует следующее свойство:

В любой сумме можно как угодно переставлять слагаемые и произвольным образом объединять их в группы.

Основные законы сложения и умножения

Пример

Найти значение выражения:

Основные законы сложения и умножения

 

Решение

Очевидно, что проще сложить 1,18 и 4,32, а также 12,1 и 1,4. Так как от перестановки мест слагаемых и от порядка действий сумма не меняется, то можем записать:

Основные законы сложения и умножения

Из свойств произведения следует следующее свойство:

 

В любом произведении можно как угодно переставлять множители и произвольным образом объединять их в группы.

Основные законы сложения и умножения

Пример

Вычислить:

Основные законы сложения и умножения

Очевидно, что проще перемножить 0,5 и 28, а также 0,25 и 4. Так как от перестановки мест множителей и от порядка действий произведение не меняется, то можем записать:

Основные законы сложения и умножения

Ссылки по теме:

 

Понятие математических выражений

Числовые выражения. Определение и значения

Буквенные (алгебраические) выражения. Значения буквенных выражений

Как найти значение выражения. Примеры с решениями

Некоторые виды буквенных выражений

Выражения с переменными

Область определения выражения с переменными

Допустимые значения букв в алгебраическом выражении

Когда буквенное выражение является формулой

Свойства действий над числами

Как раскрывать скобки

Общий числовой множитель выражений. Вынесение общего множителя за скобки

Общий буквенный множитель

Как приводить подобные слагаемые

Замены в выражениях

Преобразование выражений. Как упростить выражение

Сравнение значений выражений

Числовой коэффициент выражения. Как найти числовой коэффициент выражения

Порядок выполнения действий при вычислении алгебраических выражений

Целые выражения и их преобразование в многочлен

Деление целых алгебраических выражений