Определение углового коэффициента прямой

 

Угловой коэффициент прямой – это тангенс угла наклона этой прямой.

Угловой коэффициент обозначают буквой k:

Угловой коэффициент прямой

Таким образом, чтобы найти угловой коэффициент прямой, если известен ее угол наклона, нужно найти тангенс этого угла.

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

 

Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Выясним геометрический смысл коэффициента k в этом уравнении.

 

Шаг 1

 

Возьмем две точки на прямой А1(x1; y1) и А2(x2; y2) такие, что: (x1 < x2).

Так как точки принадлежат прямой, заданной уравнением с угловым коэффициентом, то координаты удовлетворяют уравнению:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Вычтем эти равенства почленно, получаем:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Отсюда:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 1

Шаг 2

 

Рассмотрим прямую, с острым углом наклона.

Через точку А1 проведем прямую, параллельную оси ОХ.

Через точку А2 проведем прямую, параллельную оси ОY.

Точку пересечения этих прямых обозначим буквой В.

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 2

Шаг 3

 

Углы ВА1А2 и α являются соответственными углами при параллельных прямых ОХ и А1В. Следовательно:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 3

Шаг 4

 

Рассмотрим треугольник А1ВА2.

Так как А1В||OX и A2B||OY и оси ОХ и OY – перпендикулярны, то:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Следовательно, треугольник А1ВА2прямоугольный.

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 4

Шаг 5

 

Определим длины катетов треугольника А1ВА2 с помощью определения абсциссы и ординаты.

Выясним геометрический смысл коэффициента

По определению, тангенса угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Следовательно:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Вернемся к равенству, полученному на шаге 1:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Правые части уравнений равны, значит, будут равны и левые:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 5

Шаг 6

 

Рассмотрим теперь случай, когда угол наклона прямой – тупой.

Через точку А2 проведем прямую, параллельную оси ОХ.

Через точку А1 проведем прямую, параллельную оси ОY.

Точку пересечения этих прямых обозначим буквой В.

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 6

Шаг 7

 

Углы А1СО и α являются смежными углами. Следовательно:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 7

Шаг 8

 

Углы А1СО и А1А2В являются соответственными углами при параллельных прямых ОХ и А2В. Следовательно:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Учитывая значение угла А1СО, полученное на шаге 7 получим:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 8

Шаг 9

 

Рассмотрим треугольник А1ВА2.

Так как А2В||OX и A1B||OY и оси ОХ и OY – перпендикулярны, то:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Следовательно, треугольник А1ВА2 – прямоугольный.

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 9

Шаг 10

 

Определим длины катетов треугольника А1ВА2 с помощью определения абсциссы и ординаты:

Выясним геометрический смысл коэффициента

По определению, тангенса угла – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Следовательно:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Вернемся к равенству, полученному на шаге 1:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Преобразуем выражение с тангенсом, чтобы совпали правые части уравнений тангенса и углового коэффициента. Для этого умножим обе части уравнения на «-1», и в правой части уравнения внесем «-1» в числитель. Получим:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Так как:

Выясним геометрический смысл коэффициента

То можем переписать выражение с тангенсом:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Воспользуемся формулой приведения для тангенса:

Выясним геометрический смысл коэффициента

В результате можем записать:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Вернемся к равенству, полученному на шаге 1:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Правые части уравнений равны, значит, будут равны и левые:

Выясним геометрический смысл коэффициента

Таким образом, коэффициент k в уравнении прямой с угловым коэффициентом равен тангенсу угла наклона прямой с осью ОХ.

Геометрический смысл углового коэффициента прямой

Геометрический смысл углового коэффициента прямой. Шаг 10