Центр симметрии параллелограмма

О – центр симметрии параллелограмма

Доказательство симметричности параллелограмма

Шаг 1

 

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем в нем диагонали AC и BD

Возьмем на нем произвольную точку X.

Доказательство симметричности параллелограмма

Доказательство симметричности параллелограмма. Шаг 1

Шаг 2

 

Через точки X и O проведем прямую. Точку пересечения прямой со стороной AD обозначим X1.

Доказательство симметричности параллелограмма

Доказательство симметричности параллелограмма. Шаг 2

Шаг 3

 

Рассмотрим треугольники XOB и X1OD.

BO=OD – по свойству диагоналей параллелограмма;

∠BOX=∠DOX1 – как вертикальные углы;

∠XBO=∠X1DO – как внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей BD.

Рассматриваемые треугольники равны признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам:

Доказательство симметричности параллелограмма

Так как в равных треугольниках соответствующие стороны равны, то:

Доказательство симметричности параллелограмма

Из последнего равенства следует, что точки X и X1 симметричны относительно точки O.

Точку X на параллелограмме мы выбрали произвольно, и доказали, что произвольная ей точка принадлежит этому параллелограмму. Это означает, что параллелограмм – это центрально-симметричная фигура, и центром симметрии является точка пересечения диагоналей.

Что и требовалось доказать.

 

Примечание

В общем виде параллелограмм осей симметрии не имеет. Осевой симметрией обладают только его частные случаи — прямоугольник, ромб и квадрат.

Доказательство симметричности параллелограмма

Доказательство симметричности параллелограмма. Шаг 3