Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

 

Через точку B прямой a можно провести только одну перпендикулярную ей прямую b:

Теорема о перпендикулярных прямых

Через точку C прямой a можно провести только одну перпендикулярную ей прямую c:

Теорема о перпендикулярных прямых

Теорема о перпендикулярных прямых

Теорема о перпендикулярных прямых

Доказательство теоремы о перпендикулярных прямых

 

Шаг 1

 

Рассмотрим прямую а, и А –точка на ней.

Теорема о перпендикулярных прямых

Доказательство теоремы о перпендикулярных прямых. Шаг 1

Шаг 2

 

Продолжим прямую а от начальной точки А и обозначим эту прямую а1.

Теорема о перпендикулярных прямых

Доказательство теоремы о перпендикулярных прямых. Шаг 2

Шаг 3

 

Отложим от полупрямой а1 угол равный 90о с вершиной А.

Теорема о перпендикулярных прямых

Доказательство теоремы о перпендикулярных прямых. Шаг 3

Шаг 4

 

Тогда прямая, содержащая луч b1 будет перпендикулярна прямой а.

Теорема о перпендикулярных прямых

Доказательство теоремы о перпендикулярных прямых. Шаг 4

Шаг 5

 

Допустим, что есть другая прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой а.

Обозначим ее через с1.

Получилось два угла а1b1 и а1с1  равные 90°, отложенные в одну полуплоскость. Но от полупрямой а1 из точки А в данную полуплоскость можно отложить только один угол равный 90°.

Поэтому, не может быть другой прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а.

 

Теорема доказана.

Теорема о перпендикулярных прямых

Доказательство теоремы о перпендикулярных прямых. Шаг 5