Определение расстояния между параллельными прямыми

 

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

"Расстояние между параллельными прямыми"

АВ – расстояние между параллельными прямыми a и b

Теорема о расстоянии между параллельными прямыми

 

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой:

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между параллельными прямыми

Доказательство теоремы

 

Шаг 1

 

Рассмотрим параллельные прямые a и b.

Расстояние между параллельными прямыми

Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми. Шаг 1

Шаг 2

 

Возьмем на прямой a точку A. Расстоянием от точки А до прямой b будет перпендикуляр АВ.

Расстояние между параллельными прямыми

Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми. Шаг 2

Шаг 3

 

Докажем, что расстояние от любой точки Х прямой а до прямой b будет равно АВ.

Для этого проведем из точки Х перпендикуляр ХY к прямой b, который и будет расстоянием от точки Х до прямой b.

Значит, докажем, что:

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между параллельными прямыми

Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми. Шаг 3

Шаг 4

 

Так как:

Расстояние между параллельными прямыми

То:

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между параллельными прямыми

Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми. Шаг 4

Шаг 5

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники АВY и YХА.

AY – общая гипотенуза;

∠BYA = ∠YAX – как накрест лежащие углы при a||b и секущей AY.

По признаку равенства прямоугольных треугольников:

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между параллельными прямыми

Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми. Шаг 5

Шаг 6

 

Из свойств равных треугольников следует:

Расстояние между параллельными прямыми

Итак, любая точка Х прямой а находится на расстоянии АВ от прямой b. Очевидно, все точки прямой b находятся на таком же расстоянии от прямой а.

Теорема доказана.

Расстояние между параллельными прямыми

Доказательство теоремы о расстоянии между параллельными прямыми. Шаг 6