Теорема

 

Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Следовательно, если точки А, В и С лежат на одной прямой и при движении переходят в точки А1, В1 и С1, то точки А1, В1 и С1 также будут лежать на одной прямой, причем точка В1 будет лежать между точками А и С1, если точка В лежит между точками А и С.

 

Следствия из теоремы

Из теоремы следует, что:

  • прямые переходят в прямые,
  • полупрямые (лучи) отображаются в полупрямые,
  • отрезки отображаются в отрезки той же длины.

Точки, лежащие на прямой, при движении

Прямая, луч, отрезок и движение

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

 

Шаг 1

 

Рассмотрим три точки А, В и С лежащие на одной прямой.

То есть рассмотрим отрезок АС.

Пусть точка В лежит между точками А и С.

Докажем, что эти три точки при движении переходят в точки А1, В1 и С1, причем точка В1 лежит между точками А1 и С1.

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 1

Шаг 2

 

Докажем сначала, что точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Пусть точки А1, В1 и С1 не лежат на одной прямой.

Если точки А1, В1 и С1 не лежат на одной прямой, то они будут вершинами треугольника.

Поэтому, согласно неравенству треугольника:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Так как по определению движения, оно сохраняет расстояние, то:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Тогда, учитывая записанные равенства и полученное неравенство, можем записать:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Но с другой стороны по аксиоме измерения отрезков (по построению отрезка АС):

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Получили противоречие. Значит, точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой.

Следовательно, отрезок переходит в отрезок:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Полупрямая (луч) переходит в полупрямую:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 2

Шаг 3

 

Докажем теперь, что точка В1 лежит между точками А1 и С1.

Предположим, что это не так. Пусть точка А1 лежит между точками В1 и С1.

Тогда:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Следовательно,

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Но это противоречит равенству:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Значит, точка А1 не может лежать между точками В1 и С1.

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 3

Шаг 4

 

Теперь предположим, что точка С1 лежит между точками А1 и В1.

Тогда:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Следовательно,

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Но это противоречит равенству:

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Значит, точка С1 не может лежать между точками А1 и В1.

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 4

Шаг 5

 

Так как из трех точек, лежащих на одной прямой, одна должна лежать между двумя другими, то остается только точка В1.

Следовательно, точка В1 лежит между точками А1 и С1.

Итак, мы доказали, что если точки А, В и С лежат на одной прямой и при движении переходят в точки А1, В1 и С1, то точки А1, В1 и С1 также будут лежать на одной прямой, причем точка В1 будет лежать между точками А1 и С1, если точка В лежит между точками А и С.

Таким образом, точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении

Доказательство теоремы о точках, лежащих на прямой при движении. Шаг 5