Фигуры с осевой симметрией

 

Симметричная фигура относительно прямой a – если преобразование симметрии относительно прямой a переводит фигуру F в себя.

Другими словами,

Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки рассматриваемой фигуры симметричная ей точка относительно прямой a принадлежит этой фигуре.

Прямую a в таком случае называют осью симметрии, а саму фигуру также называют фигурой с осевой симметрией.

 

Ось симметрии делит симметричную фигуру на две равные половины. Если симметричную фигуру нарисовать на бумаге, вырезать и согнуть по оси симметрии, то эти половинки совпадут.

Ось симметрии

ABCD – ромб с осевой симметрией.

BD – ось симметрии ромба.

Примеры фигур с осевой симметрией

 

  • Ромб имеет две оси симметрии. Осями симметрии ромба являются прямые, на которых лежат его диагонали.

Например, рассмотрим ромб ABCD, который является симметричной фигурой относительно его диагоналей.

Так, диагональ BD – ось симметрии ромба, значит для каждой точки, расположенной левее диагонали BD, существует единственная симметричная ей точка, расположенная правее диагонали BD. При этом, точки, лежащие на диагонали BD симметричные сами себе.

Для любой произвольной точки Х1 существует Х2, такая что:

ось симметрии ромба

  • Прямоугольник имеет две оси симметрии, которые проходят через точку пересечения его диагоналей параллельно сторонам.
  • Квадрат имеет четыре оси симметрии: две прямые, содержащие его диагонали, и две прямые, которые проходят через точку пересечения его диагоналей параллельно сторонам.
  • Окружность имеет бесконечно много осей симметрии – это любая прямая, которая содержит диаметр.
  • Прямая имеет бесконечно много осей симметрии – любая перпендикулярная прямая будет осью симметрии.
  • Равнобедренная трапеция – одна ось симметрии. Прямая, перпендикулярная основаниям и проходящая через их середины.
  • Равнобедренный треугольник – одна ось симметрии – прямая, проходящая через медиану (высоту, биссектрисы), проведенную к основанию.
  • Равносторонний треугольник – три оси симметрии – прямые, содержащие его медианы (высоты, биссектрисы)
  • Угол – одна ось симметрии – прямая, содержащая биссектрису угла.

Как доказать, что фигура имеет осевую симметрию

 

Примеры доказательств того, что фигура обладает осевой симметрией можно посмотреть в доказательствах для рассмотренных выше примеров фигур, симметричных относительно прямой a.