Теорема об осевой симметрии и движении

 

Осевая симметрия является движением.

Другими словами, при преобразовании осевой симметрии расстояния сохраняются.

Если отрезок А1В1 симметричен отрезку АВ относительно прямой a, то:

Осевая симметрия - это движение

Осевая симметрия - это движение

Осевая симметрия – это движение

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Способ 1

 

Шаг 1

 

Рассмотрим отрезок АВ и симметричный ему отрезок А1В1 относительно прямой a.

Докажем, что преобразование симметрии – это движение.

Точку пересечения АА1 и прямой a обозначим буквой К, точку пересечения ВВ1 и прямой a обозначим буквой О.

Таким образом нужно доказать, что при осевой симметрии сохраняется расстояние между точками, т.е.:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 1

Шаг 2

 

Построим отрезок АН, перпендикулярный ВВ1.

Так как мы рассматриваем осевую симметрию относительно прямой a, то точка Н отобразится в точку Н1.

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 2

Шаг 3

 

Рассмотрим прямоугольные треугольники АНВ и А1Н1В1.

По построению:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Так как мы рассматриваем осевую симметрию, то точка В переходит в точку В1, следовательно:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

И:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Точка Н переходит в точку Н1, следовательно:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Отсюда:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Следовательно:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Точка А переходит в точку А1, значит:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Итак:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Так как две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Перпендикулярные отрезки, заключенные между параллельными прямыми равны, следовательно:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Если в двух прямоугольных треугольниках попарно равны катеты, то эти треугольники равны:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

По свойству равных треугольников:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Таким образом, расстояние между точками сохраняется.

Следовательно, преобразование симметрии относительно прямой есть движение.

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 3