Теорема об осевой симметрии и движении

 

Осевая симметрия является движением.

Другими словами, при преобразовании осевой симметрии расстояния сохраняются.

Если отрезок А1В1 симметричен отрезку АВ относительно прямой a, то:

Осевая симметрия - это движение

Осевая симметрия - это движение

Осевая симметрия – это движение

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Способ 2

 

Шаг 1

 

Рассмотрим фигуру F.

Пусть точки А и В – две произвольные точки фигуры F.

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 1

Шаг 2

 

Построим фигуру F1 по закону осевой симметрии.

Проведем ось симметрии a.

Пусть точка А при симметрии относительно прямой a переходит в точку А1, точка В в точку В1.

Точку пересечения АА1 и прямой a обозначим буквой О.

Точку пересечения ВВ1 и прямой a обозначим буквой О1.

Так как прямая a – ось симметрии, то:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

И:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 2

Шаг 3

 

Проведем отрезки АО1 и А1О1.

Рассмотрим образовавшиеся прямоугольные треугольники АОО1 и А1ОО1.

ОО1 – общий катет;

АО = А1О – так как точка А1 образована по закону осевой симметрией.

По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

По свойству равных треугольников:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 3

Шаг 4

 

Так как:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

То:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

По построению:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Значит:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Так как правые части двух уравнений равны, то будут равны и левые:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

По доказанному на шаге 3:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Следовательно:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 4

Шаг 5

 

Рассмотрим треугольники ВАО1 и В1А1О1.

ВО = О1В1 – так как точка В1 образована по закону осевой симметрии;

АО1 = А1О1 – доказано на шаге 3;

∠АО1В = ∠А1О1В1 – доказано на шаге 4.

Следовательно, по признаку равенства треугольников СУС (сторона-угол-сторона):

Доказательство теоремы об осевой симметрии

По свойству сторон равных треугольников:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Таким образом, расстояние между точками сохраняется.

Следовательно, преобразование симметрии относительно прямой есть движение.

Итак, мы доказали, что осевая симметрия – это движение.

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 5