Теорема об осевой симметрии и движении

 

Осевая симметрия является движением.

Другими словами, при преобразовании осевой симметрии расстояния сохраняются.

Если отрезок А1В1 симметричен отрезку АВ относительно прямой a, то:

Осевая симметрия - это движение

Теорема об осевой симметрии

Теорема об осевой симметрии

Доказательство. Способ 3 (координатный метод)

 

Шаг 1

 

Рассмотрим отрезок АВ и симметричный ему отрезок А1В1 относительно прямой a.

Докажем, что преобразование симметрии – это движение.

Таким образом нужно доказать, что при осевой симметрии сохраняется расстояние между точками, т.е.:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 1

Шаг 2

 

Проведем через ось симметрии ось координат ОY.

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 2

Шаг 3

 

Так как мы рассматриваем осевую симметрию, то точки А и А1 лежат на одной прямой AA1, которая является перпендикулярной к оси OY.

Следовательно, точки А и А1 имеют равные отрезки ординат:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Так как прямая АА1 перпендикулярна к оси OY, и ось ОХ перпендикулярна OY, то:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Так как перпендикулярные отрезки, лежащие между параллельными прямыми, равны, то длины отрезков абсцисс будут равны (отрезки абсцисс перпендикулярны оси ОY).

Точка А лежит левее оси OY, значит, ее абсцисса будет со знаком «минус».

Точка А1 лежит правее оси OY, значит, ее абсцисса будет со знаком «плюс»:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 3

Шаг 4

 

Аналогично определим координаты точек В и В1:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Длина отрезка АВ через координаты его концов равна:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Длина отрезка А1В1 через координаты его концов равна:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Так как по доказанному выше:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

То уравнение для отрезка А1В1 можно переписать:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Отсюда:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

По свойству квадрата:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Как показали выше:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Следовательно:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Так как равны квадраты длин отрезков, то будут равны и сами отрезки:

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Итак, используя метод координат, мы доказали, что расстояние между точками сохраняется.

Следовательно, преобразование симметрии относительно прямой есть движение.

Теорема об осевой симметрии доказана.

Доказательство теоремы об осевой симметрии

Доказательство теоремы об осевой симметрии. Шаг 4