Теорема о центральной симметрии

 

Центральная симметрия является движением.

Если фигура F симметрична фигуре F1 относительно точки О, то любым точкам А и В фигуры F соответствуют точки А1 и В1 фигуры F1, такие что:

Центральная симметрия - это движение

Центральная симметрия - это движение

Центральная симметрия – это движение

Доказательство теоремы о центральной симметрии. Способ 1

 

Шаг 1

 

Рассмотрим фигуру F.

Пусть точки А и В – две произвольные точки фигуры F.

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Доказательство теоремы о центральной симметрии. Шаг 1

Шаг 2

 

Построим фигуру F1 по закону центральной симметрии.

Точка О – центр симметрии.

Пусть точка А при симметрии относительно точки О переходит в точку А1, точка В в точку В1.

Чтобы доказать, что центральная симметрия – это движение, нужно доказать, что при преобразовании центральной симметрии расстояния сохраняются, т.е. нужно доказать, что:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Доказательство теоремы о центральной симметрии. Шаг 2

Шаг 3

 

Рассмотрим случай, когда центр симметрии (точка О) не лежит на прямой АВ.

Рассмотрим треугольники АОВ и А1ОВ1.

АО = А1О – так как точка А1 образована по закону центральной симметрии;

ВО = В1О – так как точка В1 образована по закону центральной симметрии;

∠ВОА = ∠В1ОА1 – как вертикальные углы.

По признаку равенства треугольников СУС (сторона-угол-сторона):

Доказательство теоремы о центральной симметрии

По свойству сторон равных треугольников:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Доказательство теоремы о центральной симметрии. Шаг 3

Шаг 4

 

Рассмотрим теперь случай, когда центр симметрии О лежит на прямой АВ.

В этом случае возможны два варианта:

  • Точка О лежит на прямой АВ, но не лежит на самом отрезке АВ
  • Точка О лежит на отрезке АВ (возможно, совпадает с точкой А или точкой В).

Пусть точка О лежит на прямой АВ, но не лежит на отрезке АВ.

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Доказательство теоремы о центральной симметрии. Шаг 4

Шаг 5

 

Так как О – центр симметрии, то:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Введем следующие обозначения:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Если точка В лежит между точками А и О (следовательно, точка В1 лежит между точками А1 и О), то расстояния АВ и А1В1 будут равны:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Отсюда получаем, что:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Если точка А лежит между точками В и О (следовательно, точка А1 лежит между точками В1 и О), то расстояния АВ и А1В1 будут равны:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Отсюда получаем, что:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Точка В лежит между точками А и О

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Точка А лежит между точками В и О

Доказательство теоремы о центральной симметрии. Шаг 5

Шаг 6

 

Рассмотрим оставшийся случай, когда центр симметрии лежит на отрезке АВ.

Так как О – центр симметрии, то:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Введем следующие обозначения:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Если точка В1 лежит между точками А и О (следовательно, точка В1 лежит между точками А1 и О), то расстояния АВ и А1В1 будут равны:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Отсюда получаем, что:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Если точка А лежит между точками В1 и О (следовательно, точка А1 лежит между точками В и О), то расстояния АВ и А1В1 будут равны:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Отсюда получаем, что:

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Таким образом, расстояние между точками сохраняется при любом выборе точек А и В и центра симметрии – точки О.

Следовательно, преобразование симметрии относительно точки есть движение.

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Если точка В1 лежит между точками А и О

Доказательство теоремы о центральной симметрии

Если точка А лежит между точками В1 и О

Доказательство теоремы о центральной симметрии. Шаг 6