Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии

 

Точка М имеет координаты:

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии

Центр симметрии – точка О имеет координаты:

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии

Тогда симметричная точка М1 относительно точки О будет иметь координаты:

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии

Другими словами, координаты центрально-симметричной точки, выраженные через координаты данной точки и центра симметрии, могут быть записаны в виде:

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии, если центр симметрии лежит в начале координат

 

Если центр симметрии лежит в начале координат, то получим следующие координаты.

Точка М имеет координаты:

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии, если центр симметрии лежит в начале координат

Тогда симметричная точка М1 относительно точки О будет иметь координаты:

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии, если центр симметрии лежит в начале координат

Вывод координат

Пусть точка М имеет координаты:

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии, если центр симметрии лежит в начале координат

Центр симметрии – точка О имеет координаты:

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии, если центр симметрии лежит в начале координат

Тогда симметричная точка М1 относительно точки О будет иметь координаты:

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии, если центр симметрии лежит в начале координат

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии, если центр симметрии лежит в начале координат

Координаты точки, симметричной данной при центральной симметрии, если центр симметрии лежит в начале координат

Вывод формулы координат точек при центральной симметрии

 

Если на плоскости введена декартова система координат, то любая точка этой плоскости имеет пару координат.

Соответственно всякое отображение плоскости Q на себя определяет пару функций от двух действительных переменных:

Вывод формулы координат точек при центральной симметрии

Для центральной симметрии эти функции можно записать в явном виде.

Пусть центр симметрии – точка О имеет координаты (x0;y0).

Возьмем произвольно точку М с координатами (x;y). Пусть симметричная ей точка М1 имеет координаты (x1;y1).

Так как точка О является серединой отрезка ММ1, то можем выразить ее координаты:

Вывод формулы координат точек при центральной симметрии

Тогда симметричная ей точка М1 будет иметь следующие координаты:

Вывод формулы координат точек при центральной симметрии

Вывод формулы координат точек при центральной симметрии

Вывод формулы координат точек при центральной симметрии

Координаты центрально-симметричной фигуры

 

Чтобы узнать координаты центрально симметричной фигуры, достаточно узнать координаты ее вершин.

Пусть фигура задается уравнением:

Координаты центрально-симметричной фигуры

Центр симметрии – точка О имеет координаты:

Координаты центрально-симметричной фигуры

Тогда центрально симметричная фигура F1 будет иметь следующее уравнение:

Координаты центрально-симметричной фигуры

В частности, если точка О расположена в начале координат, то центрально симметричная фигура F1 будет иметь координаты:

Координаты центрально-симметричной фигуры

Вывод уравнения центрально симметричной фигуры

На координатной плоскости фигура F обычно задается как множество точек, координаты которых удовлетворяют определенному уравнению:

Координаты центрально-симметричной фигуры

Пусть центр симметрии – точка О имеет координаты (x0;y0).

Определим координаты фигуры F1, которая симметрична фигуре F относительно точки О.

Воспользуемся формулой координат для симметричных точек:

Координаты центрально-симметричной фигуры

Если фигура F1 с координатами (x1;y1) симметрична относительно точки О с координатами (x0;y0) фигуре F:

Координаты центрально-симметричной фигуры

то верно равенство, которое является уравнением центрально-симметричной фигуры F1:

Координаты центрально-симметричной фигуры

Данное уравнение означает, что точка (x0;y0) является центром симметрии фигуры, которая задается уравнением F(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда эти уравнения равносильны, т.е.:

Координаты центрально-симметричной фигуры

Например, центром симметрии фигуры, задаваемой уравнением F(x,y) = 0 , является начало координат, тогда и только тогда, когда:

Координаты центрально-симметричной фигуры

Данное свойство выполняется, если уравнение F(x,y) = 0 не меняется при одновременном изменении знаков у переменных x и y (такое уравнение называют инвариантным относительно преобразования (x,y)→(-x, -y)).

Координаты центрально симметричных фигур при центре симметрии в начале координат

Координаты центрально симметричных фигур при центре симметрии в начале координат