Центральная симметрия (симметрия относительно точки)

 

Центральная симметрия относительно точки О – это преобразование пространства, переводящее точку Х в такую точку Х1, при котором точка О – середина отрезка ХХ1.

При центральной симметрии отображение (движение) происходит относительно точки, которая называется центром симметрии.

Другими словами, точки X и X1 называются симметричными относительно точки О, если точки X, X1 и О лежат на одной прямой и выполняется равенство:

Определение центральной симметрии

Точка О считается симметричной сама себе.

Итак, любой точке Х ставится в соответствие единственная точка Х1 плоскости.

Точка Х называется прообразом точки Х1.

Точка Х1 называется образом точки Х.

Таким образом, точки Х и Х1 симметричны относительно точки О, если О – середина отрезка ХХ1.

Центральная симметрия на плоскости и в пространстве определяется одинаково.

Центральная симметрия – это один из видов движения. Таким образом, центральная симметрия – это частный случай отображения плоскости на себя.

Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, когда поворот равен 180°, причем не важно по часовой стрелке или против нее.

Обозначение

Центральная симметрия с центром в точке О обычно обозначается:

Определение центральной симметрии

Определение центральной симметрии

Точки Х и Х1 симметричны относительно точки О. Точка О – центр симметрии

Определение центральной симметрии

Из рисунка очевидно, что если к некоторой точке Х применить центральную симметрию с центром О, а затем, к полученной точке Х1 вновь применить центральную симметрию с тем же центром О, то получим исходную точку Х.

Другими словами, последовательное применение к любой точке Х два раза центральной симметрии с одним и тем же центром дает исходную точку Х.

Определение центральной симметрии

Определение центральной симметрии

Определение фигур, симметричных относительно точки

 

Преобразование фигуры F в фигуру F1, при котором каждая точка A фигуры F переходит в точку A1, симметричную относительно данной точки O, называется преобразованием симметрии относительно точки O. Фигуры F и F1 называются фигурами, симметричными относительно точки O.

Другими словами:

Две фигуры называются симметричными относительно точки О, если для каждой точки одной фигуры есть симметричная ей относительно точки О точка в другой фигуре и обратно.

Фигуры F и F1 симметричные относительно точки О

Фигуры F и F1 симметричные относительно точки О