Теорема о повороте и движении

 

Поворот является движением.

Другими словами, если отрезок АВ переходит в отрезок А1В1 по правилам поворота, то расстояние между точками А и В остается равным расстоянию между точками А1В1, т.е.:

Теорема о повороте и движении

Теорема о повороте и движении

Теорема о повороте и движении

Доказательство теоремы о повороте и движении

 

Шаг 1

 

Рассмотрим точки А, В и О, которые не лежат на одной прямой.

Пусть при повороте вокруг точки О на угол α точка А отобразиться в точку А1, а точка В в точку В1.

Докажем, что преобразование по правилам поворота является движением.

Следовательно, нужно доказать, что при повороте расстояние сохранится, т.е.:

Доказательство теоремы о повороте и движении

Доказательство теоремы о повороте и движении

Доказательство теоремы о повороте и движении. Шаг 1

Шаг 2

 

Рассмотрим треугольники АОВ и А1ОВ1.

По построению:

Доказательство теоремы о повороте и движении

Так как правые части уравнений равны, то будут равны и левые:

Доказательство теоремы о повороте и движении

По условию точки А1 и В1 образовались в результате поворота, следовательно:

Доказательство теоремы о повороте и движении

Треугольники АОВ и А1ОВ1 равны по признаку равенства треугольников СУС (сторона-угол-сторона):

Доказательство теоремы о повороте и движении

По свойству равных треугольников:

Доказательство теоремы о повороте и движении

Доказательство теоремы о повороте и движении

Доказательство теоремы о повороте и движении. Шаг 2

Шаг 3

 

Рассмотрим теперь случай, когда центр поворота (точка О) лежит на отрезке АВ.

По построению:

Доказательство теоремы о повороте и движении

По условию точки А1 и В1 образовались в результате поворота, следовательно:

Доказательство теоремы о повороте и движении

Отсюда:

Доказательство теоремы о повороте и движении

Полученное равенство означает, что при повороте расстояние между точками сохраняется, из чего следует, что поворот является движением.

Так как точки и угол поворота выбирались произвольно, то можно утверждать, что поворот – это движение независимо от расположения точек и угла поворота.

Доказательство теоремы о повороте и движении

Доказательство теоремы о повороте и движении. Шаг 3