Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам (ССС – сторона – сторона – сторона)

 

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников: по трем сторонам (ССС – сторона – сторона - сторона) Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

1 способ доказательства третьего признака равенства треугольников

Шаг 1

Пусть АВС и A1B1C1 – два треугольника, у которых АВ= А1В1, АС= A1C1, ВС = B1C1.

Требуется доказать, что треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Доказательство признака равенства треугольников. Шаг 1

Шаг 2

Допустим, треугольники не равны. Тогда у них ∠А≠∠А1, ∠В≠∠В1, ∠С≠∠С1. Иначе они были бы равны по первому признаку равенства треугольников.

Шаг 3

Пусть Δ A1B1C2— треугольник, равный треугольнику АВС, у которого вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной С1 относительно прямой С1C2.

Третий признак равенства треугольников

Доказательство признака равенства треугольников. Шаг 3

Шаг 4

Пусть D — середина отрезка С1C2.

Третий признак равенства треугольников

Доказательство признака равенства треугольников. Шаг 4

Шаг 5

Рассмотрим треугольники A1C1C2 и B1C1C2.

Так как по построению В1С1 = В1С2, то треугольник A1C1C2равнобедренный.

Так как по построению А1С1 = А1С2, то треугольник B1C1C2 – равнобедренный.

Третий признак равенства треугольников

Доказательство признака равенства треугольников. Шаг 5

Шаг 6

Так как треугольники A1C1C2 и B1C1C2 равнобедренные с общим основанием С1C2, то по свойству медианы равнобедренного треугольника их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой С1C2.

Третий признак равенства треугольников

Доказательство признака равенства треугольников. Шаг 6

Шаг 7

Прямые A1D и B1D не совпадают, так как точки A1, B1, D не лежат на одной прямой. Но через точку D прямой С1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Мы пришли к противоречию.

Теорема доказана.