Свойство медианы равнобедренного треугольника

 

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является и высотой, и биссектрисой.

Медиана равнобедренного треугольника

Медиана равнобедренного треугольника

Доказательство свойства медианы равнобедренного треугольника

Шаг 1

 

Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС (АВ=ВС).

Медиана равнобедренного треугольника

Медиана равнобедренного треугольника. Доказательство. Шаг 1

Шаг 2

 

Проведем из вершины медиану ВК на сторону АС:

Доказательство свойства медианы равнобедренного треугольника

Медиана равнобедренного треугольника

Доказательство свойства медианы равнобедренного треугольника. Шаг 2

Шаг 3

 

Рассмотрим треугольники АКВ и СКВ:

  1. АВ=ВС – по условию треугольник АВС – равнобедренный;
  2. АК=КС – по построению ВК – медиана;
  3. ВК – общая сторона.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников:

ΔАКВ= ΔСКВ

∠АВК = ∠КВС, так как в равных треугольниках против равных сторон (АК=КС) лежат равные углы.

Так как ∠АВК = ∠КВС, то ВК – биссектриса угла В.

Доказательство свойства медианы равнобедренного треугольника

Доказательство свойства медианы равнобедренного треугольника. Шаг 3

Шаг 4

 

Рассмотрим угол АКС.

∠АКС = 180° – развернутый угол.

В свою очередь:

Доказательство свойства медианы равнобедренного треугольника

∠АКВ = ∠СКВ – так как в равных треугольниках против равных сторон (АВ=ВС) лежат равные углы.

Значит равенство, полученное выше можно переписать:

2∠АКВ = 180°;

∠АКВ=90°;

∠АКВ = ∠СКВ, следовательно, ∠СКВ=90°.

Таким образом, мы показали, что ВК – высота.

Доказательство свойства медианы равнобедренного треугольника

Доказательство свойства медианы равнобедренного треугольника. Шаг 4