Как построить перпендикулярную прямую через точку, которая не лежит на прямой

 

Дана прямая а и точка О.

Через данную точку О провести прямую перпендикулярную данной прямой а.

Рассмотрим случай, когда точка О не лежит на прямой а.

Как построить перпендикулярную прямую

Как построить перпендикулярную прямую через точку, которая не лежит на прямой

Построение перпендикулярной прямой

 

Шаг 1

 

Проведем прямую а. И пусть точка О не лежит на этой прямой.

Как построить перпендикулярную прямую

Построение перпендикулярной прямой. Шаг 1

Шаг 2

 

Проведем окружность с центром в точке О, пересекающую прямую а. Точки пересечения окружности с прямой а обозначим А и В.

Построение перпендикулярной прямой

Построение перпендикулярной прямой. Шаг 2

Шаг 3

 

Проведем окружность с центром в точке А и радиусом, равным ОА.

Построение перпендикулярной прямой

Построение перпендикулярной прямой. Шаг 3

Шаг 4

 

Проведем окружность с центром в точке В и радиусом, равным ОВ.

Так как ОА и ОВ радиусы одной и той же окружности, построенной на шаге 2, то:

Построение перпендикулярной прямой

Построение перпендикулярной прямой

Построение перпендикулярной прямой. Шаг 4

Шаг 5

 

Точку пересечения окружностей (отличной от той, в которой лежит точка О) обозначим буквой О1.

Построение перпендикулярной прямой

Построение перпендикулярной прямой. Шаг 5

Шаг 6

 

Через точки О и О1 проведем прямую.

ОО1 – прямая, перпендикулярная прямой a.

Построение перпендикулярной прямой

Построение перпендикулярной прямой. Шаг 6

Докажем, что ОО1 перпендикулярна прямой a

Шаг 7

 

Точку пересечения прямых АВ и ОО1 обозначим С.

Соединим точки О и О1 с точками А и В.

Рассмотрим треугольники АОВ и АО1В.

АО = АО1 – как радиусы одной и той же окружности,

ОВ = О1В – как радиусы одной и той же окружности,

АВ – общая сторона.

По признаку равенства треугольников по трем сторонам (С-С-С):

Построение перпендикулярной прямой

По свойству углов равных треугольников:

Построение перпендикулярной прямой

Построение перпендикулярной прямой

Построение перпендикулярной прямой. Шаг 7

Шаг 8

 

Рассмотрим треугольник ОАО1.

Так как АО и АО1 равны как радиусы одной и той же окружности, то треугольник ОАО1 – равнобедренный.

Так как по доказанному на шаге 7, углы ОАВ и ∠О1АВ равны, то АС – биссектриса угла А.

По свойству биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной из его вершины, она является и высотой.

Следовательно, АС перпендикулярна ОО1.

Таким образом, ОС – перпендикуляр, опущенный из точки О на прямую а.

Построение перпендикулярной прямой

Построение перпендикулярной прямой. Шаг 8