Теорема синусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Существуют два варианта теоремы: обычная теорема и расширенная теорема.

 

Обычная теорема синусов:

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема синусов

Формулировка теоремы синусов

Следствие из теоремы синусов

 

Расширенная теорема синусов:

Теорема синусов

Для произвольного треугольника стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов и равны удвоенному диаметру окружности, описанной вокруг треугольника.

Где a, b, c — стороны треугольника, α, β, γ— соответственно противолежащие им углы, а R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

 

 

Вариации и обобщения теоремы синусов

 

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

Стороны треугольника пропорциональны лишь синусам его внутренних углов, но не пропорциональны величинам самих углов. К примеру, в прямоугольном треугольнике с острыми углами 30° и 60° sin 90° больше sin 30° в 2 раза: 1: 1/2 = 2, гипотенуза больше катета, лежащего против угла 30°, также в 2 раза. Но угол 90° будет больше угла 30° в 3 раза.

Следствие из теоремы синусов

Следствие из теоремы синусов